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Chapitre 1 - Bases pour raisonner⚓︎

Placeholder Vous arrivez en pleine forme après une année de Terminale pendant laquelle vous avez brillé. Avant d'explorer de nouvelles contrées mathématiques, il s'agit d'établir quelques bases solides afin de consolider nos futurs apprentissages :

  • comprendre un énoncé en le traduisant selon la logique des propositions et des prédicats;
  • utiliser des rudiments de théorie des ensembles et faire le lien avec la logique;
  • découvrir dans le contexte familier des résolutions d'inéquations l'intérêt, la rigueur et la mise au point de théorèmes et de démonstrations;
  • revoir, développer et préciser le raisonnement par récurrence vu au lycée;
  • s'entraîner au calcul algébrique et investir les points vus précédemment dans le contexte de calcul de sommes.

Mise en évidence des problèmes⚓︎

Rapports de jury⚓︎

Voici quelques extraits de rapports de jurys qui mettent en évidence certaines lacunes que nous allons tenter de combler dans ce chapitre:

  • Comme l’an dernier, le niveau est très hétérogène et l’impression générale ressentie à la lecture des copies amène à penser que les questions les plus subtiles, qui demandent une compréhension fine de la théorie, quel que soit le domaine concerné, échappent à presque tous les candidats. La plupart d’entre eux ont acquis des techniques et des réflexes mais ne comprennent pas forcément en profondeur ce qu’ils font.
  • La plupart des étudiants arrivent à reproduire des séquences vues en classe durant leurs deux années de préparation mais ils le font souvent sans maîtriser les concepts mathématiques qui y sont liés et préfèrent réciter par cœur plutôt que de s’adapter à l’énoncé de l’exercice qu’ils traitent. On note encore cette année des étudiants « hors-sujet » plaquant sur une question une « recette » apprise par cœur mais inadaptée à la question posée.[...]Curieusement, les étudiants sont plus à l’aise avec les concepts qui n’ont été abordés qu’en classe préparatoire (matrices, calcul intégral, variables aléatoires à densité). En revanche, certaines lacunes du lycée n’ont pas été comblées. C’est le cas de l’étude des fonctions. On note également un nombre important de candidats (environ un quart) en difficulté sur des notions de collège : mise au même dénominateur, factorisation, parenthèses, règles de priorité, confusion entre les opérations.
  • Les opérations élémentaires et les notions de base sont de plus en plus mal maîtrisées : addition et multiplication sont régulièrement confondues (on passe de \(2x = y\) à \(x = y–2\) ; on confond diviser par \(2n\) et diviser par \(n^2\), etc .)[...]La manipulation des fractions a été un obstacle insurmontable dans beaucoup de copies.[...] Beaucoup de candidats utilisent la formule (fausse) : \(m^{1/2} m^{1/3} = m^{1/6}\).[...] De plus, les raisonnements doivent être clairs et précis, les affirmations étant étayées par une argumentation solide. Par exemple, le recours trop fréquent à des phrases du type « il est clair que… » doit être évité au profit d’une justification correcte fondée sur un apprentissage rigoureux et une très bonne maîtrise du cours.
  • *Le jury est stupéfait du nombre d’erreurs intervenant dans l’étude d’une fonction simple (question 5a) : erreurs sur les variations (notamment résoudre dérivée = 0 au lieu de dérivée > 0), erreurs manifestes sur la représentation graphique (allure aberrante, courbe avec un pic, valeur incorrecte pour t = 0 ou pour t → +∞, tangente horizontale à t = 0...), pas d’indication de l’asymptote ou de la tangente horizontales... Il est assez préoccupant de constater que de nombreux étudiants ne sont pas capables de réaliser cette question parfaitement, alors qu’elle ne dépasse pas le niveau de Terminale Scientifique et qu’un usage raisonné de la calculatrice permet *
  • Le symbole ⇔ est souvent mal utilisé et de nombreux étudiants confondent une équivalence et une implication, voired’éviter de nombreuses erreurs.

Francis Bacon et le Grand Toral⚓︎

En 1605, Francis BACON dénonçait déjà l'existence du Grand Oral en Mathématiques:

Logic differeth from rhetoric...in this, that logic handleth reason exact and in truth, and rhetoric handleth it as it is planted in popular opinions and manners

Les BCPST1 au Pays des Merveilles⚓︎

  • « Reprenez donc un peu de thé » propose le Lièvre de Mars.

  • « Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien ! »

  • « Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose » répartit le Chapelier.

  • « Quand il n'y a rien, ce n'est pas facile d'en reprendre ».

  • Alors comme ça, vous êtes étudiante?

  • Oui, en mathématique par exemple.
  • Alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre?
  • Eh bien ...
  • Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
  • Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
  • Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
  • En fait, je crois que...
  • Aucune importance! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé?
  • Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
  • Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
  • Parfaitement! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
  • Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
  • Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires. On sait que pour tout entier \(n\) on a successivement
\[ (n+1)^2=n^2+2n+1 \]
\[ (n+1)^2-2n-1=n^2 \]

Retranchons \(n(2n+1)\) des deux côtés

\[ (n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1) \]

Mézalor, en ajoutant \((2n+1)^2/4\), on obtient

\[ (n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\dfrac{(2n+1)^2}{4}=n^2-n(2n+1)+\dfrac{(2n+1)^2}{4} \]

Soit

\[ \left((n+1)-\dfrac{2n+1}{2}\right)^2=\left(n-\dfrac{2n+1}{2}\right)^2 \]

En passant à la racine carrée, on obtient

\[ (n+1)-\dfrac{2n+1}{2}=n-\dfrac{2n+1}{2} \]

d'où

\[ n+1=n \]

Et si je prends \(n=2\), j'ai aussitôt \(3=2\)

  • Alors, qu'est-ce que vous en dites?
  • Je...commença Alice.
  • D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont égaux, la coupa le Lièvre de Mars.
  • Pas mal du tout! Qu'en dites-vous mademoiselle la mathématicienne?
  • Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense.
  • Ah non! Nous préférerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
  • C'est pareil! grinça Alice qui commençait à en avoir assez.
  • Comment ça, c'est pareil? Dire ce que l'on pense ce serait pareil que penser ce que l'on dit? S'étrangla le Lièvre de Mars.
  • Incroyable! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange?
  • Mais...
  • Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire?
  • En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
  • Autant dire moins que un.
  • C'est à dire zéro, puisque si 2=3 alors 1=0.
  • Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1? s'indigna Alice.
  • On se demande ce qu'on vous apprend à l'école! Tiens, et je peux même vous donner une démonstration très simple. Prenez deux nombres non nuls et égaux:
\[ a=b \]

Alors

\[ a^2=ab \]

et

\[ a^2-b^2=ab-b^2 \]

Un peu d'identité remarquable:

\[ (a+b)(a-b)=b(a-b) \]

Je simplifie:

\[ a+b = b \]

Mais comme \( a=b\):

\[ 2b=b \]

et je simplifie:

\[ 2=1 \]
  • C'est de la folie pure, pensa Alice...

Souvenirs...⚓︎

date Cas (% augmentation) Décès (% augmentation)
2020-03-01 35(52%)
2020-03-02 40(14%)
2020-03-03 51(28%)
2020-03-04 85(67%)
2020-03-05 114(34%) 1(n.a.)
2020-03-06 160(40%) 2(100%)
2020-03-07 206(29%) 2
2020-03-08 271(32%) 3(50%)
2020-03-09 321(18%) 7(133%)
2020-03-10 373(16%) 7
2020-03-11 456(22%) 9(29%)
2020-03-12 590(29%) 10(11%)
2020-03-13 797(35%) 28(180%)
2020-03-14 1,061(33%) 43(54%)
2020-03-15 1,391(31%) 65(51%)
2020-03-16 1,543(11%) 81(25%)
2020-03-17 1,950(26%) 115(42%)
2020-03-18 2,626(35%) 158(37%)
2020-03-19 3,269(24%) 194(23%)
2020-03-20 3,983(22%) 250(29%)
2020-03-21 5,018(26%) 285(14%)
2020-03-22 5,683(13%) 359(26%)
2020-03-23 6,650(17%) 508(42%) annonce du confinement prenant effet le 26
2020-03-24 8,077(21%) 694(37%)
2020-03-25 9,529(18%) 877(26%)
2020-03-26 11,658(22%) 1,161(32%)
2020-03-27 14,548(25%) 1,455(25%)
2020-03-28 17,104(18%) 1,669(15%)
2020-03-29 19,606(15%) 2,043(22%)
2020-03-30 22,271(14%) 2,425(19%)
2020-03-31 25,521(15%) 3,095(28%)

Cas de Covid et décès au Royaume-Uni au mois de mars 2020 Source Wikipedia

Boris JOHNSON annonce

  • le 12 mars : We are considering the question of banning major public events such as sporting fixtures. The scientific advice as we’ve said over the last couple of weeks is that banning such events will have little effect on the spread.
  • le 16 mars : And without drastic action, cases could double every 5 or 6 days.

Source

Voici quelques lignes en Python que vous allez exécuter, commenter et expliquer :

import matplotlib.pyplot as plt
from math import log

d = [1,1,0,1,4,0,2,1,18,15,22,16,34,43,36,56,35,74,149,187,183,284,294,214,374,382]

s = [0,1,2,2,3,7,7, 9,10,28,43,65,81,115,158,194,250,285,359,508,695,878,1162,1456,1670,2044]

t = [k for k in range(6,32)]

ls = [log(x) for x in s]

plt.bar(t,d)
#plt.plot(t,s)
#plt.plot(t,ls)
plt.show()

Un brin de logique⚓︎

Through the looking glass - Lewis CARROLL

Contrariwise, continued Tweedledee, if it was so, it might be; and if it were so, it would be; but as it isn't, it ain't. That's logic.

Contexte⚓︎

On appellera proposition tout énoncé dont on peut décider s'il est vrai ou faux indépendamment de ses composantes.

On distinguera la logique des propositions de la logique des prédicats qui introduit des variables dans les assertions qui peut les rendre donc parfois vraies et parfois fausses.

Par exemple « Je suis actuellement en salle 3 » est une proposition susceptible d'être vraie ou fausse dans toute situation alors que la valeur de vérité de « x est actuellement en salle 3 » dépend de \(x\).

En informatique, Vrai et Faux sont appelées des booléens (Qui était George BOOLE?) notées True et False en Python :

In [54]: 2 > 3
Out[54]: False

In [55]: 2 <= 3
Out[55]: True

In [56]: 2 + 2 == 4
Out[56]: True

In [57]: len("Papa") == 4
Out[57]: True

Implication⚓︎

Recherche 1-1

Soit un entier naturel \(n\) inférieur à 20. On considère la proposition « si \(n\) est pair, alors son successeur est premier ».

Quels sont les entiers qui rendent cette proposition vraie?

Définition 1-1 - Implication

\(A\) et \(B\) étant deux propositions, on note \(A ⟹ B\) (\(A\) implique \(B\)) la proposition qui est toujours vraie sauf quand \(A\) est vraie et \(B\) est fausse.

  • Que penser de l'exercice précédent en terme d'implication?
  • Que penser de cette citation de Pierre DAC (in Y'a du mou dans la corde à noeuds): « Avec le mot SI on peut faire tout ce qu'on ne peut pas faire.* » ?

On peut résumer la situation dans une table de vérité car les propositions \(A\) et \(B\) ne peuvent prendre que deux valeurs donc il n'y a que quatre possibilités pour les valeurs du couple \((A,B)\):

\(A\) \(B\) \(A⟹B\)
F F V
F V V
V V V
V F F

Ainsi, le cas où \(A\) est fausse ne nous intéresse pas vraiment car on est sûr que l'implication sera vraie quelque soit la valeur de vérité de \(B\).

Ainsi, \(A⟹B\) étant vraie, on peut dire que:

  • SI \(A\) (est vraie) ALORS \(B\) (est vraie)
  • IL SUFFIΤ que \(A\) soit vraie pour que \(B\) soit vraie
  • IL FAUT que \(B\) soit vraie pour que \(A\) soit vraie
  • \(A\) est une condition suffisante de \(B\)
  • \(B\) est une condition nécessaire de \(A\)

Exemple

Soit \(A\) la proposition : \(x\) est un entier naturel. Soit \(B\) la proposition: \(x\) est positif.

Les propositions suivantes sont vraies:

  • SI \(x\) est un entier naturel ALORS \(x\) est positif
  • IL SUFFIΤ que \(x\) soit un entier naturel pour que \(x\) soit positif
  • IL FAUT que \(x\) soit positif pour que \(x\) soit un entier naturel
  • \(x\) entier naturel est une condition suffisante de \(x\) positif
  • \(x\) positif est une condition nécessaire de \(x\) entier naturel

On a bien \(x\) est un entier naturel implique que \(x\) est positif (\(A ⟹ B\) est vraie).

Contraposée⚓︎

Reprenons notre exemple: SI \(x\) n'est pas positif ALORS \(x\) ne peut pas être un entier naturel.

On note \(\lnot A\) la négation de \(A\). L'observation précédente signifie que \(\lnot B ⟹ \lnot A\). Est-ce toujours le cas? Dressons la table!

\(A\) \(B\) \(A⟹B\) \(\lnot B\) \(\lnot A\) \(\lnot B ⟹ \lnot A\)
F F V V V V
F V V F V V
V V V F F V
V F F V F F

Ainsi, dans tous les cas, \(A⟹B\) et \(\lnot B ⟹ \lnot A\) ont la même valeur de vérité.

À retenir

Ainsi, dans certains cas, pour démontrer une implication, il sera parfois plus simple de démontrer la contraposée.

Remarque

Dans un « théorème » du cours de mathématique sous la forme SI hypothèse ALORS conclusion, on a en fait une implication hypothèse \(⟹\) conclusion.

  • si on a l'hypothèse vérifiée et le théorème démontré alors on peut en déduire que la conclusion est vraie. C'est le modus ponens.
  • si on a le contraire de la conclusion vérifié et le théorème démontré, alors on peut e déduire que le contraire de l'hypothése est vrai. C'est le modus tollens.

Par exemple, en supposant que la proposition « \(x\) est un entier naturel implique que \(x\) est positif » est un théorème, 3 étant un entier naturel, on en déduit que 3 est positif.

On peut aussi dire que comme \(-3\) n'est pas positif, on en déduit que \(-3\) n'est pas un entier naturel.

Contraire (négation) d'une implication⚓︎

On voudrait savoir si la proposition « un nombre est positif implique que ce nombre est un entier naturel » est vraie.

On « sent » bien que non. Par exemple \(\sqrt{2}\) est bien positif (hypothèse vraie) mais pourtant ce n'est pas un entier naturel (conclusion fausse).

Si on formalise on a \(A\) ET \(¬B\). Est-ce que par hasard \(A\) ET \(¬B\) ne serait pas la négation de \(A⟹B\)?

C'est quoi ET? Pour être en accord avec le « bon sens », on dira que \(A\) ET \(B\) est vraie seulement quand les deux propositions \(A\) et \(B\) sont simultanément vraies. On note cet opérateur \(\wedge\).

\(A\) \(B\) \(¬B\) \(A\wedge ¬B\) \(A⟹B\)
F F V F V
F V F F V
V V F F V
V F V V F

Bingo! Les deux propositions sont bien contraires. Or une proposition et son contraire ne peuvent pas être vraies simultanément (c'est ce qu'on appelle le tiers exclus).

Puisque \(A\wedge¬B\) est vraie (dans le cas de \(\sqrt{2}\)), c'est que son contraire, \(A⟹B\) est faux.

Quantificateurs⚓︎

Un pour tous : \(\forall\)⚓︎

Mmmmmm..... Y a quelque chose de pas très clair cependant. On a parlé d'un certain \(x\), ou d'un certain entier...C'est un peu flou.

Il vaudrait mieux écrire que notre théorème est en fait:

« Quelque soit le nombre \(x\), si \(x\) est un entier naturel alors il est positif »

Plus formellement, on a l'habitude de noter cela:

\[ (\forall x)(x\in\mathbb N ⟹ x ≥0) \]

Remarque

Ce symbole \(\forall\) se lit « pour tout » (Notation introduite par l'Allemand GENTZEN} en 1933: für Alle d'où le A à l'envers).

Un pour l'existence : \(\exists\)⚓︎

Nous avons établi qu'il existait au moins un nombre positif (\(\sqrt{2}\)) qui n'était pas un entier naturel. Cela s'écrit formellement:

\[ (∃x)(x≥0 ∧ x ∉ \mathbb N) \]

Ce symbole se lit « il existe AU MOINS » (On le doit au britannique Bertrand RUSSELL dans ce contexte).

Il existe une variante: \((∃!)\) qui signifie « il existe un UNIQUE élément »

Quantificateurs et négation⚓︎

Quand ce n'est pas vrai pour tous, c'est que c'est faux pour au moins un.

Quand ce n'est pas vrai pour au moins un, c'est que c'est faux pour tous.

Ainsi, si on note \(P(x)\) une certaine propriété dépendant de \(x\) :

\[ ¬((∃x)(P(x)) ≡ (∀x)(¬P(x)) \]
\[ ¬((∀x)(P(x)) ≡ (∃x)(¬P(x)) \]

La dernière proposition renvoie à la recherche de contre-exemple: pour montrer que quelque chose n'est pas toujours vrai, il faut exhiber un cas où cette chose est fausse.

À retenir

Bien repérer les quantificateurs dans les énoncés de propositions permet de donner des pistes de démonstrations.

Remarque

Souvent, on contracte l'écriture \((∀x)(x ∈ \mathbb R)\) en \((∀x ∈ \mathbb R)\)

Réciproque / Équivalence⚓︎

Lorsqu'on a établi qu'une implication était vraie, on a souvent envie de vérifier l'implication réciproque (i.e. avec la « flèche dans l'autre sens »).

Si c'est le cas, on utilise le symbole \(⟺\):

\[ (A⟹B) ∧ (B⟹A) ≡ (A⟺B) \]

On lit « A est équivalent à B » ou « A si, et seulement si B ».

Recherche 1-2

Est-ce que deux nombres sont égaux si, et seulement si leurs carrés sont égaux ?

Nous voudrions donc voir si la proposition suivante est vraie :

\( (∀x∈ℝ)(∀y∈ℝ)(x²=y²⟺x=y) \)

Pour démontrer une équivalence on procède souvent par double inclusion.

  • \(\fbox{x=y ⟹ x²=y²}\) Ce sens est assez évident puisque, pour tous réels \(x\) et \(y\):

    \[ x²=x×x=y×y (\text{ car }x=y) = y² \]

    Ainsi:

    \[ (∀x∈ℝ)(∀y∈ℝ)(x=y⟹x²=y²) \]
  • \(\fbox{x=y ⟸ x²=y²}\) on sent qu'il y a u problème en tant qu'élève bien entraîné(e). En effet, \((-2)²=2²\) et pourtant \(-2\neq 2\). Plus formellement:

    \[ (∃x∈ℝ)(∃y∈ℝ)(x²=y² ∧ ¬(x=y)) \]

    ou encore:

    \[ ¬\bigl( (∀x∈ℝ)(∀y∈ℝ)(x²=y²⟹x=y) \bigr) \]

ce qui traduit que l'implication dans ce sens est fausse, donc que l'équivalence est fausse.

Recherche 1-3

Démontrer que \((∀x∈ℝ_+)(∀y∈ℝ_+)(x²=y²⟺x=y) \)

Récurrence⚓︎

Récursion, récurrence, induction⚓︎

...des mots qui tournent autour du même thème mais qu'il faut savoir distinguer.

L'induction consiste à conclure à partir d'observations préalables: cela correspond à la démarche expérimentale classique. Sans précautions, cela peut conduire à certaines contre-vérités. Par exemple 3, 5 et 7 sont premiers donc on pourrait en déduire, par induction, que tous les nombres impairs à partir de 3 sont premiers et pourtant...

L'induction mathématique ou raisonnement par récurrence corrige ce défaut. On part toujours d'un résultat observé mais on démontre qu'il est vrai pour tous les éléments d'un ensemble donné, éventuellement infini. C'est l'induction expérimentale corrigée par la rigueur du raisonnement mathématique.

En informatique, une fonction récursive (ou un type récursif) est une fonction (ou un type) qui fait référence à elle(lui)-même dans sa définition. Ce mécanisme est très puissant et permet de condenser l'écriture d'un programme.

In [12]: def yati1adans(mot):
    ...:     if len(mot) == 0:
    ...:         return False
    ...:     elif mot[0] == 'a':
    ...:         return True
    ...:     else:
    ...:         return yati1adans(mot[1:])
    ...: 

In [13]: yati1adans("Gertrude")
Out[13]: False

In [14]: yati1adans("Germaine")
Out[14]: True

C'est l'induction mathématique qui nous intéresse ici. Rappelons quelques principes.

Pour démontrer qu'une proposition \(\cal P_n\) dépendant uniquement d'un paramètre \(n\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\), il faut vérifier que:

  • \(\cal P_{n_0}\) est vraie (on parle parfois d'initialisation);

  • pour tout \(n \geqslant n_0\), \(\cal P_n \Longrightarrow \cal P_{n+1}\) est une implication vraie (on parle parfois d'hérédité).

remarque

Vous vous souvenez que \(A⟹B\) est toujours vraie si la proposition A est fausse. Donc le seul cas intéressant à envisager est celui où A est vraie. Alors, pour que l'implication soit vraie, il faut que B soit vraie aussi.

C'est pourquoi en Terminale on vous a souvent dit qu'il fallait démontrer que si \(\cal P_n\) est vraie alors \(\cal P_{n+1}\) est vraie aussi. Cela suffit à démontrer que l'implication est vraie.

Quand on a besoin de supposer que non seulement la proposition est vraie pour un certain \(n\) mais aussi pour tous les entiers qui lui sont inférieurs (pas seulement le père mais aussi tous les ascendants) on parle alors de récurrence forte.

Voyons un exemple...

Un jeu⚓︎

Voici un test de fin d'étude maternelle en Syldavie : prenez un cube, placez en-dessous deux autres cubes, et encore en-dessous trois cubes, etc.

Combien y a-t-il de cubes bleus au total sur un dessin avec trois lignes ? On peut encore les compter à la main, mais que faire si je vous demande le nombre de cubes lorsqu'on a placé 100 rangées ? \(n\) rangées ?

Le dessin nous donne une idée : si nous complétons la figure pour former un rectangle, il y a deux fois plus de cubes, mais maintenant nous pouvons les compter. Il y en a en effet \(\dfrac{4\times (4+1)}{2}\), et donc

\[ 1+2+3+4=\dfrac{4\times(4+1)}{2} \]

Reprenons la méthode évoquée plus haut :

  • Nous allons essayer de prouver que la proposition suivante est vraie pour tout entier naturel \(n\)
\[ \cal P_n : {\rm «} 0 + 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} {\rm »} \]
  • Il est facile de vérifier que \(0=\dfrac{0(0+1)}{2}\), donc la deuxième étape de notre raisonnement est vérifiée
\[ \cal P_0\ {\rm est\ vraie} \]
  • Supposons qu'une « génération », appelons-la par exemple la \(k\)-ème, soit « infectée ». Plus sobrement on dira : soit \(k\) un entier supérieur à 1. Supposons que \(\cal P_k\) soit vraie et essayons alors de démontrer que cela implique que la génération suivante , la \(k+1\)-ème, sera elle aussi infectée, ce qui impliquera que :
\[ \cal P_k\ \Longrightarrow \cal P_{k+1} \]

Il s'agit donc de calculer \(1+2+3+\cdots+k+(k+1)\) sachant que \(1+2+3+\cdots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}\), or :

\[ \begin{align*} \cal P_k ⟹& 1+2+3+\cdots+k+(k+1) &=& \displaystyle\underbrace{1+2+3+\cdots+k}&+(k+1) \\ &&=&\ \frac{k(k+1)}{2} & +(k+1)\\ &&= &\ (k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right) & \\ &&=&\ (k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right) &\\ &&=&\ \frac{(k+1)(k+1+1)}{2}\\ &&& {\displaystyle\underbrace{\hspace{9em}}}&\\ &&&{\hspace{3em} \cal P_{k+1}}&\\ \end{align*} \]

Nous en déduisons que \((\forall k \in ℕ)(\cal P_k⟹\cal P_{k+1})\).

  • Nous avons vérifié que la proposition était vraie au rang 0 et qu'elle était héréditaire. Nous allons donc en déduire que la proposition sera toujours vraie, quelque soit l'entier naturel \(n\) grâce au théorème admis suivant:

Les théorèmes⚓︎

Théorème 1-1 - (admis) Principe de récurrence simple

Soit \(\cal P_n\) une proposition ne dépendant que d'un entier \(n\).

SI :

  • il existe un entier \(n_0\) tel que \(\cal P_{n_0}\) soit vraie ;

  • \((\forall n \geqslant n_0)(\cal P_n⟹\cal P_{n+1})\)

ALORS :

\[ (\forall n \geqslant n_0)(\cal P_n ) {\rm (sous-entendu\ « \ est \ vraie »)} \]

On retiendra donc la méthode suivante :

À retenir

Pour démontrer que \(\cal P_n\) est vraie pour tous les entiers naturels \(n\) supérieurs à un certain \(n_0\)

  • On expose clairement la proposition \(\cal P_n\).

  • On vérifie que \(\cal P_{n_0}\) est vraie : c'est le pas initial de la récurrence.

  • On démontre ensuite que \(\cal P_k ⟹ \cal P_{k+1}\) pour n'importe quel entier \(k \geqslant n_0\) : c'est le passage du rang \(k\) au rang \(k+1\) qui exprime que la proposition \(\cal P_n\) est héréditaire.

  • Il reste à conclure en annonçant que, d'après le principe de récurrence simple, la proposition est vraie pour tout entier naturel \(n \geqslant n_0\)

Théorème 1-2 - (admis) Principe de récurrence à deux pas

Soit \(\cal P_n\) une proposition ne dépendant que d'un entier \(n\).

SI:

  • il existe un entier \(n_0\) tel que \(\cal P_{n_0}\) et \(\cal P_{n_0+1}\) soient vraies;

  • \((\forall n \geqslant n_0)(\cal P_n ∧ \cal P_{n+1}⟹\cal P_{n+2})\)

ALORS:

\[ (\forall n \geqslant n_0)(\cal P_n ) \]

Recherche 1-4

On pose \(F_0=F_1=1\) et \((\forall n \geqslant 0)(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n)\).

Démontrer que \((\forall n \geqslant 0)(0\leqslant F_n \leqslant \left(\frac{5}{3}\right)^n)\)

Théorème 1-3 - (admis) Principe de récurrence forte

Soit \(\cal P_n\) une proposition ne dépendant que d'un entier \(n\).

SI:

  • il existe un entier \(n_0\) tel que \(\cal P_{n_0}\) soit vraie;

  • \((\forall n \geqslant n_0)(\cal P_{n_0} ∧ \cal P_{n_0+1} ∧ \cdots ∧ \cal P_{n-1}∧\cal P_n⟹\cal P_{n+1})\)

ALORS:

\[ (\forall n \geqslant n_0)(\cal P_n ) \]

Recherche 1-5

On pose \(a_1=3\) et \((\forall n \in ℕ^*)(a_{n+1}=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)\). Démontrer que \((\forall n \in ℕ^*)(a_n=3n)\)

Attention !

  • Attention à vérifier que la proposition ne dépend que d'un entier et pas d'un réel quelconque ;

  • Attention à ne pas tomber dans le piège classique de rédaction : « supposons que la proposition soit vraie pour tout \(n\) » au lieu de « pour un certain \(n\) » ;

  • Si vous démontrez \(\cal P_n⟹\cal P_{n+1}\) sans utiliser le fait que \(\cal P_n\) soit vraie c'est que vous n'avez pas besoin d'utiliser le principe de récurrence et qu'une démonstration directe suffit.

Les grands types de raisonnements : le résumé⚓︎

Voici résumées les méthodes classiques de raisonnement qui seront utiles en mathématiques et dans la « vraie vie »

Avec des quantificateurs⚓︎

  • Pour montrer que quelque soit \(x \in E, P(x)\), on choisit un élément quelconque \(x\) de \(E\) et on montre la propriété \(P(x)\). Ceci se fait à l'aide de la phrase « Soit \(x \in E\) » suivie d'un raisonnement abstrait (ou d'un calcul littéral) considérant \(x\) comme une quantité fixée une bonne fois pour toutes.

  • Pour montrer qu'il existe un \(x \in E\) vérifiant \(P(x)\), on l'exhibe. Soit explicitement, soit à l'aide d'une construction abstraite plus difficile...

  • Pour montrer qu'un unique \(x \in E\) vérifie \(P(x)\), la plupart du temps on choisit deux éléments \(x\) et \(y\) de \(E\) et on montre que la véracité de \(P(x)\) et de \(P(y)\) implique \(x=y\)

  • Pour montrer qu'il n'existe pas de \(x \in E \) vérifiant \(P(x)\), on montre que \(\forall x \in E, \text{ non }P(x)\)

Pour démontrer une implication⚓︎

  • Le raisonnement direct. De la propriété \(P\), on arrive à déduire l'énoncé \(Q\). Techniquement, on suppose \(P\) vraie et on démontre que \(Q\) est (nécessairement) vraie.

  • La raisonnement par la contraposée : ce type de raisonnement repose sur la règle : \((A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})\).

Recherche 1-6

Soit \( a \in ℝ\). Montrons que \((\forall \varepsilon > 0, |a|<\varepsilon) \Rightarrow a=0\).

  • Le raisonnement par l'absurde. On prend comme hypothèse à la fois l'énoncé \(P\) et l'énoncé \(non(Q)\), c'est-à-dire la négation de l'implication que l'on cherche à démontrer. Il s'agit de montrer qu'une telle hypothèse est absurde. Si la négation de l'implication est absurde, on en déduit que l'implication est vraie.

Recherche 1-7

Montrer que pour tout \(n \in ℕ\), on a l'implication suivante : \(n^2\) pair \(\Rightarrow\) \(n\) pair

  • Une disjonction de cas. Ce raisonnement est acceptable à condition de bien faire une étude de tous les cas possible.

Un raisonnement par récurrence⚓︎

Déjà abondamment commenté

Équivalence⚓︎

  • On peut démontrer une équivalence par double implication

  • Procéder par Analyse-Synthèse :

    • Phase d'analyse : on recherche des conditions (\(\mathcal{C}\)) nécessaires pour une certaine hypothèse (\(\mathcal{H}\)).
    • Phase de synthèse : on contrôle le caractère suffisant (ou pas) de ces conditions. Une fois trouvées des conditions nécessaires et suffisantes, on conclut : \((\mathcal{H}) \Leftrightarrow (\mathcal{C})\)

Recherche 1-8

Démontrer que toute fonction \(f : ℝ \rightarrow ℝ\) s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.