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Chapitre 3 - Nombres réels⚓︎

Placeholder Si le Reel n'a plus de secret pour les Écossais, les nombres du même nom en réservent encore de nombreux aux élèves sortant du lycée.

Par exemple, quel est le nombre réel qui suit 2 ? Est-ce vrai qu'il y a autant de nombres réels entre 0 et 1 que dans \(ℝ\) tout entier ? Les Grecs croyaient que tout nombre pouvait s'écrire sous la forme d'une fraction mais nous avons depuis démontré que \(\sqrt{2}\) n'était pas rationnel. Mais \(\sqrt{2}\) appartient à une famille de nombres appelés algébriques car solutions d'une équation du type \(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\) avec les \(a_i\) appartenant à \(ℕ\). Les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés transcendants sont beaucoup plus nombreux et pourtant on en connaît beaucoup moins. On a démontré à la fin du XIXe que \(π\) et e étaient transcendants mais par exemple on ne sait toujours pas si \({\rm e} + π\) est transcendant ou \(π^π\)...

Ordre dans \(ℝ\)⚓︎

Au tableau

Carrés, puissances, racines, etc.⚓︎

Au tableau

Aparté historique : naissance de l'algèbre⚓︎

Placeholder

Voici notre héros أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ou si vous préférez Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, né dans l'actuel Ouzbékistan vers 780.

Son livre le plus célèbre, qu'il a écrit entre 813 et 833 alors qu'il travaillait à la maison de la sagesse de Bagdad, se nomme الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة (Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab AL-JABR) ce qui signifie l'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. On n'y trouve ni notations ni nombres! Tous les nombres et calculs sont décrits par des phrases à l'aide des termes :

  • nombres (dirham)

  • racines (jidhr : ce qui est caché)

  • choses (shay transposé en espagnol par xay qui a donné notre fameux \(x\)...)

  • biens (mâl...) qui désigne le carré d'une racine.

  • Al-jabr signifie réduction au sens de réduction d'une fracture. Un Algebrista en espagnol désigne même un rebouteux.

L'al-jabr consiste à réduire l'équation en éliminant les soustractions par addition de termes dans les deux membres.

En effet, à l'époque d'Al-Khwarizmi, on ne travaillait qu'avec des entiers positifs.

Par exemple:

\[ x^2 = 40x - 4x^2 \]

est transformé, par al-jabr, en

\[ x^2 + 4x^2 = 40x \]

puis

\[ 5x^2= 40x \]

En effet, Al-Khawarizmi nomme les termes soustraits (comme \(4x^2\) dans l'exemple précédent) : nâqis (terme enlevé). Le même mot est employé pour désigner le membre manquant d'un amputé.

Al-jabr consiste donc à restaurer ce qui est manquant dans une équation.

Al-muqabala signifie confrontation.

\[ x^2 + 5 = 40x + 4x^2 \]

contient des carrés dans les deux membres, chaque membre est pourtant une somme.

Al-muqabala consiste donc à soustraire une quantité afin que des quantités de même type (dirham, racine ou carré) ne puissent se trouver à la fois dans les deux membres de l'équation. Dans

\[ x^2 + 5 = 40x + 4x^2 \]

on soustrait \(x^2\) pour obtenir

\[ 5 = 40x + 3x^2 \]

On retrouve alors un des six types d'équations qu'Al-Khwarizmi a étudié. Une méthode de résolution générale de chaque type était proposée ainsi qu'une démonstration, souvent géométrique.

Voici un problème proposé par Al-Khwarizmi:

Problème proposé par Al-Khwarizmi

Un bien et dix de ses racines égale trente-neuf dirhams.

En voici une solution illustrée géométriquement (faites un dessin) :

Solution

Il y a une autre figure qui mène également à cela et c'est : la surface (AB), étant le bien, nous voulons lui ajouter l'équivalent de dix de ses racines. Nous divisons par deux les dix, elles deviennent cinq, nous les transformons en deux surfaces sur les flancs de la surface (AB), et ce sont les deux surfaces (J), (N). La longueur de chacune des deux surfaces est cinq coudées -et c'est la moitié des dix racines- et sa largeur est comme le côté de la surface (AB). Il nous reste alors un carré dans l'angle de la surface (AB), et c'est cinq par cinq, et c’est la moitié des dix racines que nous avons ajoutées sur les flancs de la première surface. Or nous savons que la première surface est le bien et que les deux surfaces qui sont sur ses deux flancs sont dix racines. Tout cela est donc trente neuf, et il reste pour compléter la surface la plus grande, un carré de cinq par cinq, et c'est vingt-cinq. Nous l'ajoutons à trente neuf afin que se complète la surface la plus grande, et c'est la surface (DE). Tout cela vaudra soixante-quatre. Nous prenons sa racine, et c'est huit, et c'est l'un des côtés de la surface la plus grande. Si nous lui retranchons l'équivalent de ce que nous lui avons ajouté -et c'est cinq- il reste trois, et c'est le côté de la surface ( AB ) qui est le bien, et c'est sa racine; et le bien est neuf.

Recherche 3-1

Faites un joli dessin et réfléchissez à la méthode proposée par Al.

Essayez ensuite avec \(x^2+6x=40\) puis avec \(x^2+6x=-10\)...

Nous venons de voir qu'Al-Khwarizmi n'utilisait pas de notations spéciales pour désigner les équations qu'il résolvait.

Il a fallu des siècles pour arriver au stade actuel.

  • Diophante, IIIe siècle : \(\Delta^{\Upsilon}\delta\ \zeta\gamma\ \epsilon\sigma\tau\iota \ \iota\)

  • Nicolas Chuquet, fin XVe siècle: \(4^2\ \text{p}\ 3^1\text{ egault }10^0\)

  • Tartaglia, début XVIe: \(4\text{q}\text{ p } 3\text{R} \text{ equale } 10\text{N}\)

  • Simon Stévin, fin XVIe: 4② \(+3\)① egales 10⓪

  • François Viète, vers 1600: 4 in A quad \(+3\) in A æquatur 10

  • René Descartes, vers 1640: \(4xx+3x\propto 10\)

  • Guillaume Connan, vers 2021: \(4x^2+3x=10\)

Vous remarquez donc que les notations sont relativement récentes mais on sait résoudre des équations depuis des millénaires: il ne faut pas confondre mathématiques et notations ni litttérature et alphabet...

Valeur absolue⚓︎

Dans l'étude des suites, tout va dépendre de la façon de mesurer l'écart entre les réels. Nous allons les étudier en choisissant la classique valeur absolue, mais il existe des univers étranges qui existent dans les esprits des mathématiciens et parfois dans l'Univers où ce n'est pas le cas.

L'illustre CAUCHY commence d'ailleurs son cours en définissant la valeur absolue (qu'il nomme valeur numérique et définie comme la base d'un nombre sans son signe, un peu comme Vader et Obiwan sont de même force mais de signe opposés).

Définition 3-1 - Valeur absolue

Soit \(x∈ℝ\). On appelle valeur absolue de \(x\) et on note \(|x|\) le plus grand réel entre \(x\) et \(-x\):

\[ |x|={\rm max}(x,-x) \]

On en déduit les petits résultats suivants :

Théorème 3-1 - Propriétés de la valeur absolue

  1. \(|x| \geqslant 0\)
  2. \(|x|^2=x^2\)
  3. \(|x|=\sqrt{x^2}\)
  4. \(|x|=0 ⟺x=0\)
  5. \(|x\times y|=|x|\times|y|\)
def val(x: float) -> float:
	return x if x >= -x else -x

Il n'est peut-être pas inutile de faire le rappel suivant:

Théorème 3-2 - Inégalité triangulaire

\[ (∀(x,y)∈ℝ^2)(|x+y| \leqslant |x| + |y|) \]

Partie entière⚓︎

Le théorème suivant sera à moitié admis :

Théorème 3-3 - Existence et unicité de la partie entière

Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier \( n \in ℤ \) tel que

\[ n \leqslant x < n + 1 \]

L'entier \(n\) est appelé la partie entière de \(x\), que l'on note \( \lfloor x \rfloor \).

Pour s'habituer à manipuler les parties entières, voici un théorème à démontrer :

Théorème 3-4 - Pseudo-linéarité

\[ (∀x∈ℝ)(∀k∈ℤ)(\lfloor x+k\rfloor = k + \lfloor x \rfloor) \]

Recherche 3-2

Est-ce que cela signifie que pour tout couple de réels \((x,y)\), on a \(\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor\) ?

Recherche 3-3

Le théorème 3-3 nous donne un encadrement de tout réel \(x\) par deux entiers successifs. Déterminez de même un encadrement minimum de \(\lfloor x\rfloor\) en fonction de \(x\).

Théorème de la borne supérieure⚓︎

Définition 3-2 - Partie minirée/majorée

On dit que la partie \(A\) de \(ℝ\) est majorée par \(u\in ℝ\) si, et seulement si, on a :

\[ \forall x(x\in A ⟹x\leqslant u) \]

On dit que la partie \(A\) est minorée par \(v\in ℝ\) si, et seulement si, on a :

\[ \forall x(x\in A⟹ v\leqslant x) \]

Théorème 3-5 - Maximum (plus grand élément - PGE)

On dit que \(g\) est le plus grand élément (ou élément maximum) de \(A\) si, et seulement si,

\[ \forall x((g\in A) \land (x\in A⟹ x\leqslant g)) \]

Si \(g\) existe, il est unique. On le note \(\operatorname{max}(A)\).

C'est le plus petit majorant de \(A\).

Théorème 3-6 - Minimum (plus petit élément - PPE)

On dit que \(g\) est le plus petit élément (ou élément minimum) de \(A\) si, et seulement si,

\[ \forall x((g\in A) \land (x\in A⟹ x\geqslant g)) \]

Si \(g\) existe, il est unique. On le note \(\operatorname{min}(A)\).

C'est le plus grand minorant de \(A\).

Danger !

Il faudra bien distinguer les notions de majorant et de maximum : qu'est-ce qui les différencie?

Recherche 3-4

Pouvez-vous donner des majorants/maxima de \(ℝ\)? \(ℕ\)? \([0,1[\)? \([0,1]\)?

Définition 3-3 - Borne supérieure

Considérons \(\mathscr{G}\) l'ensemble des majorants de \(A.\) Si \( \mathscr{G}\) admet un plus petit élément \(s\), c'est la borne supérieure de \(A.\)

On la note \(\operatorname{sup}(A)\).

Définition 3-4 - Borne inférieure

Considérons \(\mathscr{P}\) l'ensemble des minorants de \(A.\) Si \( \mathscr{P}\) admet un plus grand élément \(i\), c'est la borne inférieure de \(A.\)

On la note \(\operatorname{inf}(A)\).

Théorème 3-7 - Théorème (admis) de la borne supérieure/inférieure

Toute partie \(A\) de \(ℝ\) non vide et majorée (resp. minorée) admet une borne supérieure (inférieure).

À retenir !

Considérons une partie A de \(ℝ\) non vide et majorée.

  1. \({\rm sup} A\) existe mais n'appartient pas forcément à A;
  2. \({\rm max} A\) n'existe pas forcément. S'il existe, il appartient à A;
  3. SI \({\rm max } A\) existe ALORS \({\rm max} A = ....\);
  4. La borne supérieure est unique mais le nombre de majorants est infini.

On déduit de la définition les propositions suivantes qui seront utiles en exercice :

Caractérisation de la borne sup(inf)érieure

  • Le réel \(\alpha\) est la borne supérieure d'une partie \(A\) de \(ℝ\) si, et seulement si:
\[ \begin{cases} (∀ x ∈ A)(x \leqslant α)\\ (∀ ε >0)(∃ x ∈ A)(α-ε < x ) \end{cases} \]
  • Le réel \(\alpha\) est la borne inférieure d'une partie \(A\) de \(ℝ\) si, et seulement si :
\[ \begin{cases} (∀ x ∈ A)(x \quad α)\\ (∀ ε >0)(∃ x ∈ A)(α ..... x ) \end{cases} \]
  • Cas plus simple: si vous trouvez qu'un majorant de A appartient à A, c'est le maximum et en même temps la borne supérieure.

Recherche 3-5

Quelle est la borne supérieure de \([0,1]\)? de \([0,1[\)?