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Chapitre 4 - Trigonométrie⚓︎

Placeholder La trigonométrie est une des parties les plus anciennes des mathématiques, il y a plus de 4000 ans. Mais c'est aussi la branche des mathématiques dont les applications sont les plus nombreuses. On ne peut y échapper car on la retrouve dans l'acoustique, l'architecture, l'astronomie (et ainsi la navigation, sur les océans, dans les airs et dans l'espace), la biologie, la cartographie, la chimie, la compression d'images, de vidéos, de sons, le génie civil, l'infographie, la géophysique, la cristallographie, les sciences économiques (en particulier dans l'étude des marchés financiers), l'électrotechnique, l'électronique, la topographie et la géodésie, beaucoup de sciences physiques, la construction mécanique, l'imagerie médicale (tomographie axiale calculée et ultrasons), la météorologie, la théorie de la musique, la théorie des nombres (et par conséquent la cryptographie), l'océanographie, l'optique, la pharmacologie, la phonétique, la théorie des probabilités, la psychologie, la séismologie, les statistiques, et la perception visuelle...La Transformation de Fourier Rapide est par exemple l'algorithme qui a eu un impact révolutionnaire et est utilisé des milliards de fois chaque jour sur la planète.

La trigonométrie, et en particulier l'étude des fonctions cosinus et sinus, est primordiale dans pratiquement tous les domaines de la science...c'est pourquoi, en toute logique, c'est une des branches les plus martyrisée par le nouveau programme du secondaire. Nous allons y remédier.

Promenade sur le cercle⚓︎

Enroulons la droite des réels⚓︎

Placeholder Pour aller se promener, il est peu pratique d'emmener la droite des réels telle quelle : elle prend trop de place. C'est pourquoi nous allons l'enrouler autour d'un cercle, mais comment faire ?

On considère un cercle de rayon 1 et de centre l'origine du repère \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). On « colle » l'origine de la droite des réels sur le point I de coordonnées \((1,\, 0)\), et on enroule. Enfin, on imagine, car il va être difficile de trouver le « bout » de la droite correspondant à \(-\infty\)...Sans compter qu'il va nous falloir pas mal de temps avant d'avoir fini de l'enrouler, mais ceci est un autre problème...

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Comme vous le savez bien, le périmètre du cercle unité vaut \(2\times\pi\times \text{rayon}=2\pi\) puisque le rayon vaut 1.

Donc, le point d'abscisse \(2\pi\) de la droite des réels vient se «coller» sur 0, le point d'abscisse \(2\pi+1\) de la droite des réels vient se «coller» sur 1 et plus généralement, tout point d'abscisse \(x\) voit se coller sur lui \(x+2\pi\), \(x-2\pi\), \(x+2\times2\pi\), \(x+3\times2\pi\), \(\dots\)

Nous pouvons de plus observer que nous allons ainsi associer à chaque élément de la droite des réels, donc à chaque nombre réel \(x\), un unique point sur le cercle.

Cercle trigonométrique⚓︎

Définition 4-1 - Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1, muni d'une orientation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

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La galette des Rois⚓︎

Sachant qu'un « tour » correspond à \(2\pi\), on peut facilement savoir à quels points du cercle trigonométrique correspondent les fractions de \(\pi\)

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Bien sûr, on pourrait placer les points correspondant à n'importe quel réel, mais c'est un peu moins pratique (Essayez donc de couper une galette des Rois en \(\sqrt{2}\) parts...).

Le radian⚓︎

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle trigonométrique (de rayon 1).

Soit \(\widehat{RST}\) un angle géométrique; on effectue la translation de vecteur \(\overrightarrow{SO}\) de cet angle: on obtient l'angle \(\widehat{R'OT'}\), qui est de même mesure que \(\widehat{RST}\).

Soient \(A\) et \(M\) les points d'intersection respectifs des demi-droites \([OR ')\) et \([OT ')\) avec le cercle \(\mathcal{C}\). On a alors \(\widehat{RST}=\widehat{R'OT'}=\widehat{AOM}\)

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Définition 4-2 - Angle non orienté

Une mesure en radians de l'angle géométrique \(\widehat{RST}\) est égale à la longueur de l'arc \(\overparen{AM}\)

Définition 4-3 - angle orienté

Une mesure en radians de l'angle orienté \(\bigl( \overrightarrow{SR},\overrightarrow{ST} \bigr)\) est égale à la longueur de l'arc orienté \(\overset{\curvearrowright}{AM}\) (Attention au sens)

Demandez aux latinistes l'étymologie du mot radian...

Définition 4-4 - Mesure principale

La mesure principale d'un angle orienté est la mesure en radian comprise dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).

Recherche 4-1

  1. Quelle est la mesure principale de l'angle orienté de mesure \(\dfrac{129\pi}{34}\) ?
  2. Quelle est la mesure principale de l'angle orienté de mesure \(\frac{125\pi}{34}\) ?
  1. \( \dfrac{129}{34}=\dfrac{4\times 34+3}{34}=4+\dfrac{3}{34} \) donc \( \dfrac{129\pi}{34}=\dfrac{3\pi}{34}+2\times2\pi \) La mesure principale cherchée est donc \(\frac{3\pi}{34}\)

  2. \(-\dfrac{\pi}{34}\)

Correspondance entre degrés et radians⚓︎

Il y a proportionnalité entre la mesure des angles en degrés et mesure en radians; il faut juste retenir que \(180\) degrés correspondent à \(\pi\) radians et on retrouve alors facilement que le coefficient de proportionnalité vaut...

Deg 180 30 45 60 90 360
Rad π π/6 π/4 π/3 π/2

Relation de Chasles⚓︎

Tout est dans le titre :

Théorème 4-1 - Relation de Chasles

\[ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right) + \left(\overrightarrow{v} ,\overrightarrow{w} \right) = \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{w} \right) \]

Sinus et Cosinus⚓︎

Approche géométrique de collège⚓︎

Recherche 4-2 Origine des lignes trigonométriques

Dans un repère orthonormé, on a tracé un cercle de rayon 1, l'origine \( O\) du repère, le point \(A\) de coordonéées \((1;0)\), le point \(B\) de coordonnées \((0;1)\), un point \(M\) quelconque du cercle et quelques points associés à \( M\):

  • T l'intersection de \((OM)\) avec la perpendiculaire à \((OA)\) en \(A\),
  • U l'intersection de la perpendiculaire à \((OB)\) en \(B\) avec la perpendiculaire à \((OA)\) en \(A\),
  • \(\Delta\) la droite \((OU)\),
  • P le point de \((OA)\) de même abscisse que M,
  • \(Q\) le point de \((OB)\) de même ordonnée que M.

On note \(\alpha\) l'angle \(\bigl( \overrightarrow{OA} ,\overrightarrow{OM} \bigr)\)

On définit quelques fonctions de la variable \(\alpha\):

  • la sécante de l'angle \(\alpha\) : \(\sec(\alpha)=\dfrac{OT}{OA}\) ;

  • la tangente de l'angle \(\alpha\) : \(\tan(\alpha)=\dfrac{AT}{OA}\) ;

  • le sinus de l'angle \(\alpha\) : \(\sin(\alpha)=\dfrac{PM}{OA}\) ;

  • on appelle cosécante, cotangente, cosinus de l'angle \(\alpha\) et on note \({\rm cosec }(\alpha)\), \({\rm cotan }(\alpha)\) et \(\cos(\alpha)\) respectivement la sécante, la tangente et le sinus du complémentaire de l'angle \(\alpha\).

Répondez aux questions suivantes :

  1. Que pouvez-vous dire à propos de la droite \((\Delta)\) ?

  2. Construisez les symétriques des points \(M\), \(P\), \(A\), \(O\) par rapport à \((\Delta)\).

  3. On note \(\beta\) l'angle \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM'}\right)\) : quel rapport existe entre \(\alpha\) et \(\beta\) ?

  4. Démontrez que \(\sec(\alpha)=\dfrac{1}{\cos(\alpha)}\).

  5. Démontrez que \(\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).

  6. Démontrez que \({\rm cotan }(\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}\).

  7. Démontrez que \({\rm cosec }(\alpha)=\dfrac{1}{\sin(\alpha)}\).

  8. Exprimez simplement \(\sin(\alpha)\times\sec(\alpha)\) et \(\cos(\alpha)\times{\rm cosec }(\alpha)\).

Définition générale⚓︎

Nous venons de voir qu'il est simple de repérer des points associés à des sous-multiples de \(\pi\), moins pour les autres.

Pour y remédier, nous allons revenir à notre bon vieux système d'abscisses et d'ordonnées.

Pour les désigner, nous allons choisir des petits noms qui sonnent bien, par exemple...sinus et cosinus ! Ces noms vous disent-ils quelque chose ? Pourtant au collège, vous n'aviez pas du tout parlé de radian, de droite des réels qui tourne autour d'un cercle et autres complications.

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Définition 4-5 - Définition

Quelque soit le réel \(x\), on appelle cosinus et sinus du réel \(x\) l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à \(x\).

On les note \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\).

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Y aurait-il malgré tout un lien ? Mmmmm... regardons la figure précédente de plus près...

Pour des valeurs de \(x\) comprises entre 0 et \(\frac{\pi}{2}\), on retrouve le soca du socatoa vu au collège, donc au moins il n'y a pas de contradiction avec ce qui a été vu dans le passé.

Nous avons même vu comment calculer géométriquement les lignes trigonométriques de quelques valeurs particulières.

Ce petit dessin nous permet en plus de vérifier certaines propriétés importantes. Par exemple :

Théorème 4-2 - 1ère formule de trigonométrie

Pour tout réel \(x\)

\[ (\cos x)^2+(\sin x)^2=1 \]

On peut encore remarquer que :

Théorème 4-3 - Majoration et minoration des lignes trigonométriques

Pour tout réel \(x\),

\[ -1 \leqslant \cos x \leqslant 1\quad \text{et}\quad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \]

On remarquera également que les réels \(x\) et \(x+2\pi\) sont associés au même point, donc ont le même cosinus et le même sinus.

Théorème 4-4 - Périodicité

Pour tout réel \(x\),

\[ \cos(x+2\pi)=\cos(x)\quad \text{et}\quad\sin(x+2\pi)=\sin(x) \]

Retenez les valeurs particulières suivantes :

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ou encore :

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Angles associés⚓︎

Que vous inspirent les dessins suivants :

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Formulaire de trigonométrie⚓︎

Les formules⚓︎

\(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\)

\(1+\tan^2 x= \dfrac{1}{\cos^2 x} \)

\(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

\(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\)

\(\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a\)

\(\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\), pour \(a+b\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in ℤ\)

\(\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\), pour \(a-b\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k'\in ℤ\)

\(\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x\)

\(\sin (2x)=2\cos x\sin x \)

\(\tan (2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}\), \(x\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\) pour \(k\in ℤ\)

La formule magique⚓︎

La formule qui permet d'obtenir toutes les autres sera pour nous \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).

Recherche 4-3

Démontrer pourquoi toutes les autres formules découlent de celle-ci.

Un rappel de première : le produit scalaire⚓︎

Le produit scalaire joue un rôle essentiel en physique et vous l'avez étudié en 1ère :

\[ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OA×OB×\cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right) \]

En vous inspirant de la figure suivante :

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calculez le produit scalaire \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\) directement et en utilisant la relation de Chasles : \(\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OD} +\overrightarrow{DB} \right)\) et retrouvez la formule \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).

Formule spéciale onde⚓︎

Théorème 4-5 - Transformation de \(a\cos x+b\sin x\)

Soit \((x,a,b)∈ℝ^3\) avec \((a,b)\neq (0,0)\). Il existe \(A∈ℝ^*_+\) et \(φ∈ℝ\) tels que :

\[ a\cos x+b\sin x=A\cos(x-φ) \]

avec \(A=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos φ=\dfrac{a}{A}\) et \(\sin φ=\dfrac{b}{A} \)

Ça se démontre...

Fonctions sinus et cosinus⚓︎

Définitions⚓︎

Nous venons de voir qu'à chaque réel \(x\), nous pouvons associer une unique valeur de \(\cos x\) et \(\sin x\). Nous allons donc pouvoir définir deux fonctions cosinus et sinus

Définition 4-6 - Fonctions sinus et cosinus

\[ \cos :\begin{array}{rll} ℝ &\to & [-1, 1] \\ x & \mapsto & \cos x\end{array} \qquad\qquad\qquad \sin :\begin{array}{rll} ℝ &\to & [-1, 1] \\ x & \mapsto & \sin x\end{array} \]

Parité⚓︎

Définition 4-7 - Fonction paire

Dire qu'une fonction définie sur un ensemble \(\cal D\) est PAIRE signifie que :

  1. \(\cal D\) est symétrique par rapport à zéro.

  2. \((∀x ∈ \cal D)(f (-x)=f(x))\)

Dans ce cas, la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

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Définition 4-8 - Fonction impaire

Dire qu'une fonction définie sur un ensemble \(\cal D\) est IMPAIRE signifie que :

  1. \(\cal D\) est symétrique par rapport à zéro.

  2. \((∀x ∈ \cal D)(f (-x)=-f(x))\)

Dans ce cas, la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère

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Recherche 4-4

Étudiez la parité des fonction cos et sin.

Périodicité⚓︎

Vous avez bien sûr remarqué que \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\) pour tout réel \(x\).

Cela se comprend à la fois sur le cercle trigonométrique du fait de l'enroulement et sur la représentation graphique des fonctions :

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Variations⚓︎

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Dérivées ?

Résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques⚓︎

\(\cos x = \cos α\)⚓︎

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Théorème 4-6 - Arccosinus

Soit \(t∈[-1,1]\). L'équation \(\cos x = t\) d'inconnue \(x\) admet une unique solution dans [0,π]. On note cette solution \(\arccos(t)\).

Théorème 4-7 - \(\cos x = \cos α\)

  • \(\cos x = \cos α\) si, et seulement si, \(x = α[2π]\) ou \(x = -α[2π]\)

  • \(\cos x = a\) si, et seulement si, \(x = \arccos a [2π]\) ou \(x = -\arccos a[π]\)

\(\sin x = \sin α\)⚓︎

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Théorème 4-8 - Arcsinus

Soit \(t∈[-1,1]\). L'équation \(\sin x = t\) d'inconnue \(x\) admet une unique solution dans [-π/2, π/2]. On note cette solution \(\arcsin(t)\).

Théorème 4-9 - \(\sin x = \sin α\)

  • \(\sin x = \sin α\) si, et seulement si, \(x = α[2π]\) ou \(x = π-α[2π]\)

  • \(\sin x = a\) si, et seulement si, \(x = \arcsin a [2π]\) ou \(x = π-\arcsin a[2π]\)

\(\tan x = \tan α\)⚓︎

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Théorème 4-10 - Arctan

Soit \(t∈ℝ\). L'équation \(\tan x = t\) d'inconnue \(x\) admet une unique solution dans ]-π/2, π/2[. On note cette solution \(\arctan(t)\).

Théorème 4-11 - \( \tan x = \tan α\)

  • \(\tan x = \tan α\) si, et seulement si, \(x = α[π]\)

  • \(\tan x = a\) si, et seulement si, \(x = \arctan a [π]\)

Équations se ramenant aux équations précédentes⚓︎

La plupart du temps, on essaiera de se ramener à l'un des cas précédents après des transformations selon le formulaire.

Pour résoudre une équation de la forme \(a\cos(t) + b\sin(t) = c\), on transforme le membre de gauche en \(r\cos(t+\varphi)\) et on est ramené à une équation de la forme \(\cos(x)=d\).

Recherche 4-5 Pendule simple en Physique

On considère un pendule simple de longueur \(l=0.5m\) dans le champ de pesanteur terrestre pour lequel \(g=9.81m\cdot s^{-2}\).

On se donne comme conditions initiales \(\theta(0)=\dfrac{\pi}{6}\) et \(\theta'(0)=1m \cdot s^{-1}\).

À quels instants le pendule sera-t-il à la position initiale, c'est-à-dire \(\theta(t)=\dfrac{\pi}{6}\) ?