Rappel N° 8 - Exponentielle et logarithme

Logarithmes

Recherche 8-1

ÉnoncéCorrigé

Calculer les nombres suivants en fonction de \(\ln (2), \ln (3)\) et \(\ln(5)\)

1. \(\ln (16) \)
2. \(\dfrac{1}{8} \ln \left(\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4} \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)\)
3. \(\ln (512) \)
4. \(\ln (72)-2 \ln (3) \)
5. \(\ln (0,125) \)
6. \(\ln (36) \)

1. On a \(16=4^{2}=2^{4}\) donc \(\ln (16)=4 \ln (2)\).
2. RAS
3. On a \(0,125=\frac{1}{8}\) donc \(\ln 0,125=-\ln 8=-3 \ln 2\).
4. RAS
5. On a \(72=8 \times 9=2^{3} \times 3^{2}\) donc \(\ln (72)-2 \ln (3)=(3 \ln (2)+2 \ln (3))-2 \ln (3)=3 \ln (2)\).

Recherche 8-2

ÉnoncéCorrigé

Calculer les nombres suivants en fonction de \(\ln (2), \ln (3)\) et \(\ln(5)\).

1. \(\ln \left(\dfrac{1}{12}\right)\)
2. \(\ln (500)\)
3. \(\ln (2,25)\)
4. \(\ln \left(\dfrac{16}{25}\right)\)
5. \(\ln (21)+2 \ln (14)-3 \ln (0,875)\).
6. \(\ln (6,25)\)

1. RAS
2. RAS
3. On a \(0,875=\frac{7}{8}\) donc \( \begin{aligned} \ln (21)+2 \ln (14)-3 \ln (0,875) & =(\ln (3)+\ln (7))+2(\ln (2)+\ln (7))-3(\ln (7)-\ln (8)) \\ & =\ln (3)+2 \ln (3)+3 \times 3 \ln (2)=3 \ln (3)+11 \ln (2) \end{aligned}\)

Recherche 8-3

ÉnoncéCorrigé

Calculer la somme suivante en fonction de \(\ln (2), \ln (3)\) et \(\ln (5)\).

\[ \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)+\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)+\cdots+\ln \left(\dfrac{98}{99}\right)+\ln \left(\dfrac{99}{100}\right) \]

On appelle \(A\) ce nombre. On a \( A=(\ln (1)-\ln (2))+(\ln (2)-\ln (3))+\cdots+(\ln (98)-\ln (99))+(\ln (99)-\ln (100))\)

donc en simplifiant les termes deux par deux finalement il reste \(A=\ln 1-\ln 100\), c'est-à-dire \(A=-\ln 100\) où \(100=2^{2} \times 5^{2}\), d'où le résultat \(A=-2(\ln 2+\ln 5)\) On peut écrire plus rigoureusement ce calcul : \( \begin{aligned} A & =\sum_{k=1}^{99} \ln \left(\frac{k}{k+1}\right)=\sum_{k=1}^{99}(\ln (k)-\ln (k+1)) \\ & =\sum_{k=1}^{99} \ln (k)-\sum_{k=1}^{99} \ln (k+1)=\sum_{k=1}^{99} \ln (k)-\sum_{j=2}^{100} \ln (j) \end{aligned}\)

en effectuant le changement d'indice \(j=k+1\) d'où finalement \(A=\ln (1)-\ln (100)=-2(\ln (2)+\ln (5))\).

Exponentielles

Recherche 8-4

ÉnoncéCorrigé

Écrire les nombres suivants le plus simplement possible.

1. \(\mathrm{e}^{3 \ln (2)}\)
2. \(\mathrm{e}^{-2 \ln (3)}\)
3. \(\ln (\sqrt{e})\)
4. \(\ln \left(\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2}}\right)\)
5. \(\ln \left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{3}}\right)\)
6. \(\mathrm{e}^{\ln (3)-\ln (2)}\)
7. \(-\mathrm{e}^{-\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)}\)
8. \(\ln \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{17}}\right)\)
9. \(\mathrm{e}^{-\ln (\ln (2))}\)
10. \(\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}^{4}}\right)-\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}^{2}}\right)\)

1. RAS
2. RAS
3. RAS
4. RAS
5. RAS
6. RAS
7. RAS
8. On a \(\mathrm{e}^{-\ln (\ln (2))}=\mathrm{e}^{(-1) \ln (\ln (2))}=(\ln (2))^{-1}=\frac{1}{\ln (2)}\).

Étude de fonctions

Recherche 8-5 Parité

ÉnoncéCorrigé

Étudier la parité des fonctions suivantes.

1. \(f_{1}: x \longmapsto \ln \left(\dfrac{2022+x}{2022-x}\right)\)
2. \(f_{2}: x \longmapsto \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\)
3. \(f_{3}: x \longmapsto \dfrac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1}\)
4. \(f_{4}: x \longmapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}\)

1. \(\quad f_{1}\) est définie sur ] - 2022,+2022[ qui est symétrique par rapport à 0 et \( \forall x \in]-2022,+2022\left[, \quad f(-x)=\ln \left(\frac{2022-x}{2022+x}\right)=\ln \left(\frac{1}{\frac{2022+x}{2022-x}}\right)=-\ln \left(\frac{2022+x}{2022-x}\right)=-f_{1}(x) .\right.\)
2. On a \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad x \leqslant|x|<\sqrt{x^{2}+1}\) donc \(f_{2}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\) on a \(\begin{aligned}f_{2}(-x) & =\ln \left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\right) \\& =\ln \left(-x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \\& =\ln \left(\frac{\left(-x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right) \\& =\ln \left(\frac{-x^{2}+\left(x^{2}+1\right)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)=-f_{2}(x) .\end{aligned}\)

Recherche 8-6 Limite d'une fonction

ÉnoncéCorrigé

On note \(f: x \longmapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}\).

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\),
2. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\),

sol

Recherche 8-7

ÉnoncéCorrigé

On note \(f: x \longmapsto \ln (1+x)\).

Calculer et simplifier les expressions suivantes pour tout \(x \in \mathbb{R}\) pour lequel elles sont définies.

1. \(f\left(2 \mathrm{e}^{x}-1\right)\)
2. \(\dfrac{1}{2} f\left(x^{2}-2 x\right)\)
3. \(\mathrm{e}^{x-\dfrac{1}{2} f(x)}\)
4. \(x f^{\prime}(x)-1\)

sol

Équations, inéquations

Recherche 8-8

ÉnoncéCorrigé

Résoudre les équations et inéquations suivantes (d'inconnue \(x\) ).

1. \(\mathrm{e}^{3 x-5} \geqslant 12\)

2. \(1 \leqslant \mathrm{e}^{-x^{2}+x}\)

3. \(\mathrm{e}^{1+\ln x} \geqslant 2\)

4. \(\mathrm{e}^{-6 x} \leqslant \sqrt{\mathrm{e}}\)

sol

Réponses mélangées

\[{\small \begin{aligned} & \text { impaire impaire } \quad-17 \quad \ln |x-1| \quad-\dfrac{1}{1+x} \quad-2 \ln (5)+4 \ln (2) \quad 8 \quad 4 \ln (2) \\ & x \geqslant \dfrac{\ln (12)+5}{3} \quad-\ln (3)-2 \ln (2) \quad 2 \ln (5)-2 \ln (2) \quad x \geqslant \dfrac{2}{e} \quad \text { impaire } \quad \text { impaire } \\ & \dfrac{1}{2} \ln (2) \quad \dfrac{1}{\ln (2)} \quad 1 \quad x \in[0,1] \quad-1 \quad 3 \ln (5)+2 \ln (2) \quad 2 \ln (2)+2 \ln (3) \\ & 3 \ln (2) \quad \dfrac{3}{2} \quad-\dfrac{1}{2} \quad \dfrac{1}{3} \quad 9 \ln (2) \quad x \geqslant-\dfrac{1}{12} \quad \dfrac{1}{9} \quad-2 \ln (2)-2 \ln (5) \\ & \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+x}} \quad 2 \ln (3)-2 \ln (2) \quad \dfrac{1}{2} \quad 1 \quad x+\ln 2 \quad-2 \quad \ln (3)+11 \ln (2) \quad-3 \ln (2) \end{aligned}} \]

Exercices supplémentaires

Recherche 8-9

ÉnoncéCorrigé

Développez et réduisez au maximum les expressions suivantes :

• \(e^{x}e^{-x}\)
• \(e^{x}e^{-x+1}\)
• \(ee^{-x}\)
• \(\left(e^{-x}\right)^2\)
• \(\dfrac{e^{2x}}{e^{2-x}}\)
• \(\dfrac{\left(e^x\right)^3}{e^{2x}}\)
• \(e^x \left(e^x+e^{-x}\right)\)
• \(\left(e^x\right)^5 \left(e^{-2x}\right)^2\)
• \(e^{-3x+1}\left(e^x\right)^3\)
• \(\sqrt{e^{-2x}}\)
• \(\dfrac{e^{-4x}e}{\left(e^{-x}\right)^2}\)
• \(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2\)
• \(\left(e^x-e^{-x}\right)^2-e^{-x}\left(e^{3x}-e^{-x}\right)\)
• \(\left(e^x-e^{-x}\right)\left(e^{2x}+e^x+1\right)\)

• \(e^xe^{-x}=e^{x-x}=1\)
• \(e^xe^{-x+1}=e^{x-x+1}=e^1=e\)
• \(ee^{-x}=e^{1-x}\)
• \((e^{-x})^2=e^{-2x}\)
• \(e^{2x}/e^{2-x}=e^{2x-2+x}=e^{3x-2}\)
• \((e^x)^3/e^{2x}=e^{3x-2x}=e^x\)
• \(e^x(e^x+e^{-x})=e^{2x}+1\)
• \(\left(e^x\right)^5 \left(e^{-2x}\right)^2=e^{5x}e^{-4x}=e^{5x-4x}=e^x\)
• \(e^{-3x+1}\left(e^x\right)^3=e^{-3x+1+3x}=e\)
• \(\sqrt{e^{-2x}}=e^{-2x/2}=e^{-x}\)
• \(\dfrac{e^{-4x}e}{\left(e^{-x}\right)^2}=e^{-4x+1+2x}=e^{-2x+1}\)
• \(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=(e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x})=(2e^x)(2e^{-x})=4e^{x-x}=4\)
• \(\left(e^x-e^{-x}\right)^2-e^{-x}\left(e^{3x}-e^{-x}\right)=e^{2x}-2e^{x-x}+e^{-2x}-e^{3x-x}+e^{-x-x}=2e^{-2x}-2\)
• \(\left(e^x-e^{-x}\right)\left(e^{2x}+e^x+1\right)=e^{3x}+e^{2x}+e^x-e^{x}-1-e^{-x}=e^{3x}+e^{2x}-1-e^{-x}\)

Recherche 8-10

ÉnoncéCorrigé

Calculez et factorisez les dérivées et les limites quand elles existent aux bornes des ensembles de définition des fonctions définies par les expressions suivantes :

• \(f_1(x)=e^x+x^2+1\)
• \(f_2(x)=5e^x+5xe^x\)
• \(f_3(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\)
• \(f_4(x)=\dfrac{3x+1-e^x}{e^{x}}\)
• \(f_5(x)=x^3e^{-x}\)
• \(f_6(x)=\dfrac{x^2e^{x}}{x+1}\)
• \(f_7(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\)
• \(f_8(x)=\dfrac{1}{e^x}\)
• \(f_{9}(x)=\left(e^x\right)^2+\dfrac{1}{e^x}\)
• \(f_{10}(x)=e^{-x}\)
• \(f_{11}(x)=e^{4x+1}\)
• \(f_{12}(x)=e^{5x^3+7x+4}\)
• \(f_{13}(x)=(x+1)e^{-x+1}\)
• \(f_{14}(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}\)
• \(f_{15}(x)=e^{\cos(x)}\)

Vérifiez avec Python. Par exemple :

In [169]: f1 = lambda x : sy.exp(x) + x**2 + 1

In [170]: sy.limit(f1(x), x, sy.oo)
Out[170]: oo

In [171]: sy.limit(f1(x), x, -sy.oo)
Out[171]: oo

In [172]: sy.diff(f1(x), x)
Out[172]: 
       x
2.x + e