Rappel N° 9 - Trigonométrie⚓︎
Valeurs remarquables de cosinus et sinus⚓︎
Recherche 9-1
Donner les valeurs :
-
\(\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right) \)
-
\(\tan \left(\dfrac{5 \pi}{4}\right) \)
-
\(\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) \)
-
\(\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
-
\(\cos (7 \pi)\)
-
\(\sin \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right) \)
sol
Recherche 9-2
Simplifier :
-
\(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\cos \left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)+\cos \left(\dfrac{7 \pi}{4}\right) \)
-
\(\cos ^{2}\left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)\)
-
\(\sin \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)\)
-
\(\cos ^{2}\left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)-\sin ^{2}\left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)\)
-
\(\tan \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\tan \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\tan \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\tan \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right) \)
sol
Signe du cosinus et du sinus⚓︎
Recherche 9-3
Donner le signe :
-
\(\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right) \)
-
\(\cos \left(\dfrac{8 \pi}{5}\right) \)
-
\(\sin \left(\dfrac{14 \pi}{5}\right) \)
-
\(\sin \left(\dfrac{7 \pi}{5}\right) \)
-
\(\tan \left(\dfrac{13 \pi}{5}\right) \)
-
\(\tan \left(-\dfrac{3 \pi}{5}\right) \)
sol
Propriétés remarquables de cosinus et sinus⚓︎
Recherche 9-4
Simplifier :
- \(\sin (\pi-x)+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
- \(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
- \(\sin (-x)+\cos (\pi+x)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)
- \(\cos (x-\pi)+\sin \left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)
sol
Formules de duplication⚓︎
On rappelle les formules suivantes : \(\sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x) \quad\) et \(\quad \cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\)
Recherche 9-5
En remarquant qu'on a \(\dfrac{\pi}{4}=2 \times \dfrac{\pi}{8}\), calculer :
- \(\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)
- \(\sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)
- \(\tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)
-
On a \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)-1\) donc \(\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{2}=\frac{\sqrt{2}+2}{4}\).
De plus, \(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \geqslant 0\) donc \(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\).
-
On a \(\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=1-\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \geqslant 0\) donc \(\sin \left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\).
- \(\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})^{2}}{4-2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\)
Recherche 9-6
Simplifier pour \(x \in] 0, \dfrac{\pi}{2}[\),
- \(\dfrac{1-\cos (2 x)}{\sin (2 x)}\)
- \(\dfrac{\cos (2 x)}{\cos (x)}-\dfrac{\sin (2 x)}{\sin (x)}\)
- On a \(\cos (2 x)=1-2 \sin ^{2}(x)\) donc \(\frac{1-\cos (2 x)}{\sin (2 x)}=\frac{2 \sin ^{2}(x)}{2 \sin x \cos (x)}=\tan (x)\).
- \(\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}-\frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}=\frac{\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}{\cos (x)}-\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin (x)}=\frac{\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}{\cos (x)}-\frac{2 \cos ^{2}(x)}{\cos (x)}=-\frac{\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos (x)}\)
Équations et inéquations trigonométriques⚓︎
Recherche 9-7
Résoudre dans \([0,2 \pi]\), dans \([-\pi, \pi]\), puis dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(\cos (x)=\dfrac{1}{2}\)
- \(\tan (x)=-1\)
- \(\sin (x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos ^{2}(x)=\dfrac{1}{2}\)
- \(\sin (x)=\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)
- \(|\tan (x)|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
- RAS
- RAS
- RAS
- RAS
- Cela revient à résoudre « \(\cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) ».
Recherche 9-8
Résoudre dans \([0,2 \pi]\), puis dans \([-\pi, \pi]\), les inéquations suivantes :
- \(\cos (x) \geqslant-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(|\sin (x)| \leqslant \dfrac{1}{2}\)
- \(\cos (x) \leqslant \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(\tan (x) \geqslant 1\)
- \(\sin (x) \leqslant \dfrac{1}{2}\)
- \(\cos \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \geqslant 0 \)
- RAS
- RAS
- RAS
- Cela revient à résoudre \(-\frac{1}{2} \leqslant \sin (x) \leqslant \frac{1}{2}\).
- RAS
- Si \(x \in[0,2 \pi]\), alors \(t=x-\frac{\pi}{4} \in\left[-\frac{\pi}{4}, 2 \pi-\frac{\pi}{4}\right]\). On résout donc \(\cos (t) \geqslant 0\) pour \(t \in\left[-\frac{\pi}{4}, 2 \pi-\frac{\pi}{4}\right]\) ce qui donne \(t \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right]\) et donc \(x \in\left[0, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup\left[\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right]\).