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Rappel N° 11 - Dérivation⚓︎

Application des formules usuelles⚓︎

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Recherche 11-1 Avec des produits.

Déterminer l'expression de \(f^{\prime}(x)\) pour \(f\) définie par :

  1. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right)(2 x-5)\).

  2. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\left(x^{3}+3 x+2\right)\left(x^{2}-5\right)\).

  3. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\left(x^{2}-2 x+6\right) \exp (2 x)\).

  4. \(x \in] 2,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\left(3 x^{2}-x\right) \ln (x-2)\)

  1. \( f^{\prime}(x)=(2 x+3)(2 x-5)+\left(x^{2}+3 x+2\right) \times 2=6 x^{2}+2 x-11\).
  2. \( f^{\prime}(x)=\left(3 x^{2}+3\right)\left(x^{2}-5\right)+\left(x^{3}+3 x+2\right) \times 2 x=5 x^{4}-6 x^{2}+4 x-15\).
  3. \(f^{\prime}(x)=(2 x-2) \exp (2 x)+\left(x^{2}-2 x+6\right) \times 2 \exp (2 x)=\left(2 x^{2}-2 x+10\right) \exp (2 x)\).
  4. \(f^{\prime}(x)=(6 x-1) \ln (x-2)+\left(3 x^{2}-x\right) \times \frac{1}{x-2}=(6 x-1) \ln (x-2)+\frac{3 x^{2}-x}{x-2}\).

Recherche 11-2 Avec des puissances.

Déterminer l'expression de \(f^{\prime}(x)\) pour \(f\) définie par :

  1. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\left(x^{2}-5 x\right)^{5}\).

  2. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\left(2 x^{3}+4 x-1\right)^{2}\).

  3. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=(\sin (x)+2 \cos (x))^{2}\)

  4. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=(3 \cos (x)-\sin (x))^{3}\)

  1. \(f^{\prime}(x)=5\left(x^{2}-5 x\right)^{4}(2 x-5)\).
  2. \(f^{\prime}(x)=2\left(2 x^{3}+4 x-1\right)\left(6 x^{2}+4\right)=4\left(2 x^{3}+4 x-1\right)\left(3 x^{2}+2\right)\).
  3. On calcule

    \( \begin{aligned}f^{\prime}(x) & =2(\sin (x)+2 \cos (x))(\cos (x)-2 \sin (x))\\ &=2\left(\sin (x) \cos (x)-2 \sin ^{2}(x)+2 \cos ^{2}(x)-4 \cos (x) \sin (x)\right. \\& =-6 \cos (x) \sin (x)-4 \sin ^{2}(x)+4 \cos ^{2}(x)\\&=-6 \cos (x) \sin (x)-4\left(1-\cos ^{2}(x)\right)+4 \cos ^{2}(x) \\& =8 \cos ^{2}(x)-6 \cos (x) \sin (x)-4\end{aligned}\)

  4. \( f^{\prime}(x)=3(3 \cos (x)-\sin (x))^{2}(-3 \sin (x)-\cos (x))\)

    \(f'(x) =-3(3 \cos (x)-\sin (x))^{2}(3 \sin (x)+\cos (x))\).

    En développant, on trouve : \(f^{\prime}(x)=-54 \cos ^{2}(x) \sin (x)-78 \cos ^{3}(x)-9 \sin (x)+51 \cos (x)\).

Recherche 11-3 Avec des quotients

Déterminer l'expression de \(f^{\prime}(x)\) pour \(f\) définie par :

  1. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\dfrac{x^{2}+3 x}{2 \sin (x)+3} \)

  2. \(x \in] 0,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{3 x+2} \)

  3. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\dfrac{\cos (2 x+1)}{x^{2}+1}\).

  4. \(x \in] 1,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\dfrac{2 x^{2}+3 x}{\ln (x)}\).

  1. \(f^{\prime}(x)=\frac{(2 x+3)(2 \sin (x)+3)-\left(x^{2}+3 x\right) \times 2 \cos (x)}{(2 \sin (x)+3)^{2}}\). En développant le numérateur, on trouve \( f^{\prime}(x)=\frac{-2 x^{2} \cos (x)+4 x \sin (x)-6 x \cos (x)+6 \sin (x)+6 x+9}{(2 \sin (x)+3)^{2}}\)
  2. \( f^{\prime}(x)=\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}(3 x+2)-\sqrt{x} \times 3}{(3 x+2)^{2}}=\frac{\frac{3 x+2}{2 \sqrt{x}}-\frac{3 \sqrt{x} \times 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{(3 x+2)^{2}}=\frac{3 x+2-6 x}{2 \sqrt{x}(3 x+2)^{2}}=\frac{2-3 x}{2 \sqrt{x}(3 x+2)^{2}}\)
  3. \(f^{\prime}(x)=\frac{-2 \sin (2 x+1) \times\left(x^{2}+1\right)-\cos (2 x+1) \times 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=-2 \frac{\left(x^{2}+1\right) \sin (2 x+1)+x \cos (2 x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\).
  4. \( f^{\prime}(x)=\frac{(4 x+3) \ln (x)-\left(2 x^{2}+3 x\right) \frac{1}{x}}{(\ln (x))^{2}}=\frac{(4 x+3) \ln (x)-2 x-3}{(\ln (x))^{2}}\)

Avec des fonctions composées⚓︎

Recherche 11-4

Déterminer l'expression de \(f^{\prime}(x)\) pour \(f\) définie par :

  1. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)\)

  2. \(x \in] 1,+\infty[\) et \(f(x)=\ln (\ln (x))\)

  3. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=(2-x) \exp \left(x^{2}+x\right)\).

  4. \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(x)=\exp (3 \sin (2 x))\).

  5. \(x \in] 0, \pi[\) et \(f(x)=\sqrt{\sin (x)}\).

  6. \(x \in] 0,+\infty[\) et \(f(x)=\sin (\sqrt{x})\).

  1. \(f^{\prime}(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}\). C'est une application directe de la formule de dérivation quand \(f=\ln \circ u\).
  2. \(f^{\prime}(x)=\frac{1 / x}{\ln (x)}=\frac{1}{x \ln (x)}\)
  3. \(\begin{aligned}f^{\prime}(x) & =(-1) \exp \left(x^{2}+x\right)+(2-x) \exp \left(x^{2}+x\right) \times(2 x+1)=(-1+(2-x)(2 x+1)) \exp \left(x^{2}+x\right) \\& =\left(-1+4 x+2-2 x^{2}-x\right) \exp \left(x^{2}+x\right)=\left(-2 x^{2}+3 x-1\right) \exp \left(x^{2}+x\right) .\end{aligned}\)
  4. \(f^{\prime}(x)=\exp (3 \sin (2 x))(3 \times 2 \cos (2 x))=6 \cos (2 x) \exp (3 \sin (2 x))\).
  5. \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\sin (x)}} \cos (x)=\frac{\cos (x)}{2 \sqrt{\sin (x)}}\).
  6. \( f^{\prime}(x)=\cos (\sqrt{x}) \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{\cos (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}\)

Recherche 11-5

Déterminer l'expression de \(f^{\prime}(x)\) pour \(f\) définie par :

  1. \(x \in \mathbb{R}^{*}\) et \(f(x)=x^{2} \sin \left(\dfrac{1}{x}\right) \)

  2. \(x \in]-3,3\left[\right.\) et \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}\)

  3. \(x \in] 1,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\ln \left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\right)\)

  4. \(x \in] 0, \pi\left[\right.\) et \(f(x)=\ln \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)\).

  1. \(f^{\prime}(x)=2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)+x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \times\left(\frac{-1}{x^{2}}\right)=2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\) 1.
  2. On a trois fonctions composées à la suite : \(f=\ln (\sqrt{u}))\). Donc on a, en appliquant deux fois la formule de dérivée d'une fonction composée : \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{u-x)}} \times u^{\prime}(x) \times \frac{1}{\sqrt{u(x)}}\). On calcule : \( \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} \times \frac{1(x-1)-(x+1) \times 1}{(x-1)^{2}} \times \frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} \\& =\frac{1}{2 \times \frac{x+1}{x-1}} \times \frac{-2}{(x-1)^{2}}=\frac{-1}{(x+1)(x-1)} \\& =\frac{-1}{x^{2}-1}=\frac{1}{1-x^{2}} .\end{aligned}\)
  3. \(f^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \times x-\sin (x) \times 1}{x^{2}} \times \frac{x}{\sin (x)}=\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x \sin (x)}\).

Dériver pour étudier une fonction⚓︎

Recherche 11-6

Calculer \(f^{\prime}(x)\) et écrire le résultat sous forme factorisée.

  1. \(x \in \mathbb{R} \backslash 3,-2\) et \(f(x)=\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{1}{2+x} . \)

  2. \(x \in]-1,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=x^{2}-\ln (x+1)\)

  3. \(x \in] 1,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\ln \left(x^{2}+x-2\right)-\dfrac{x+2}{x-1}\).

  4. \(x \in]-1,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}+x-2 \ln (x+1)\).

  5. \(x \in] 0, e[\cup] e,+\infty\left[\right.\) et \(f(x)=\dfrac{1+\ln (x)}{1-\ln (x)}\). Réponses mélangées

  1. \(f^{\prime}(x)=\frac{-(-1)}{(3-x)^{2}}+\frac{-1}{(2+x)^{2}}=\frac{(2+x)^{2}-(3-x)^{2}}{(3-x)^{2}(2+x)^{2}}=\frac{10 x-5}{(3-x)^{2}(2+x)^{2}}\).
  2. \(f^{\prime}(x)=2 x-\frac{1}{x+1}=\frac{2 x(x+1)-1}{x+1}=\frac{2 x^{2}+2 x-1}{x+1}\). Pour le trinôme \(2 x^{2}+2 x-1\), on calcule \(\Delta=4-4 \times 2 \times(-1)=12\). On a deux racines : \(x_{1}=\frac{-2-\sqrt{12}}{2 \times 2}=\frac{-2-2 \sqrt{3}}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \quad \text { et } \quad x_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} . \) Enfin, on a \(f^{\prime}(x)=\frac{2\left(x-\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right.}{x+1}=\frac{2}{x+1}\left(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\).

Réponses mélangées⚓︎

\[{\small \begin{aligned} & -2 \ \dfrac{\left(x^{2}+1\right)\ \sin (2 x+1)+x\ \cos (2 x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \quad 5\left(x^{2}-5 x\right)^{4}(2 x-5) \quad \dfrac{2}{x+1}\left(x+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right) \\ & \dfrac{1}{1-x^{2}} \quad \dfrac{9}{\left(9-x^{2}\right) \sqrt{9-x^{2}}} \quad\left(2 x^{2}-2 x+10\right) \exp (2 x) \quad \dfrac{(4 x+3) \ln (x)-2 x-3}{(\ln (x))^{2}} \quad \dfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}} \\ & 2 x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-\cos \left(\dfrac{1}{x}\right) \quad(6 x-1) \ln (x-2)+\dfrac{3 x^{2}-x}{x-2} \quad 8 \cos ^{2}(x)-6 \cos (x) \sin (x)-4 \\ & \dfrac{\cos (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \quad \dfrac{x \cos (x)-\sin (x)}{x \sin (x)} \quad \dfrac{(2 x+3)(2 \sin (x)+3)-\left(x^{2}+3 x\right) \times 2 \cos (x)}{(2 \sin (x)+3)^{2}} \quad 5 x^{4}-6 x^{2}+4 x-15 \\ & 6 \cos (2 x) \exp (3 \sin (2 x)) \quad-3(3 \cos (x)-\sin (x))^{2}(3 \sin (x)+\cos (x)) \quad \dfrac{2 x^{2}+2 x+5}{(x+2)(x-1)^{2}} \\ & \dfrac{\cos (x)}{2 \sqrt{\sin (x)}} \quad \dfrac{1}{x \ln (x)} \quad 4\left(2 x^{3}+4 x-1\right)\left(3 x^{2}+2\right) \quad \dfrac{2}{x(1-\ln (x))^{2}} \quad \dfrac{10 x-5}{(3-x)^{2}(2+x)^{2}} \\ & \left(-2 x^{2}+3 x-1\right) \exp \left(x^{2}+x\right) \quad \dfrac{2-3 x}{2 \sqrt{x}(3 x+2)^{2}} \quad 6 x^{2}+2 x-11 \quad \dfrac{2 x}{x^{2}+1} \end{aligned} }\]

Exercice supplémentaire⚓︎

Recherche 11-7

Calculez les dérivées des fonction définies par:

  • \(f_1(x)=(x^2+x)^3\)
  • \(f_2(x)=(3x^2+4x-6)^4\)
  • \(f_3(x)=(3x^2+4x-6)^{-4}\)
  • \(f_4(x)=\frac{1}{(3x^2-5x+1)}\)
  • \(f_5(x)=\cos(\sqrt{x})\)
  • \(f_6(x)=\sqrt{\cos(x)}\)
  • \(f_7(x)=\bigl( \cos(x^2+5x+1) \bigr)^2\)
  • \(f_8(x)=\cos \bigl( (x^2+5x+1)^2 \bigr)\)
  • \(f_9(x)=\frac{1}{\cos \bigl( (x^2+5x+1)^2 \bigr)}\)
  • \(f_{10}(x)=\tan(x)\)
  • \(f_{11}(x)=\tan \left(\sqrt{x}\right)\)
  • \(f_{12}(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^2+2x+1}}\)
  • \(f_{13}(x)=(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)\)
  • \(f_{14}(x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(3x)}\)
  • \(f_{15}(x)=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\)
  • \(f_{16}(x)=\ln(\ln(\ln(\ln(x))))\)

Vous pourrez vérifier vos calculs à la machine. On obtient facilement l'expression formelle de la dérivée d'une fonction:

In [1]: import sympy as sy

In [2]: x,t = sy.symbols('x t')

In [3]: f = lambda x : (x**2 + 3*x)**2

In [4]: sy.diff(f(x), x)
Out[4]: (4*x + 6)*(x**2 + 3*x)

On a deux solutions pour faire de l'expression de la dérivée une fonction:

In [5]: fp1 = lambda x : sy.diff(f(t), t).subs(t,x)

In [6]: fp1(x)
Out[6]: (4*x + 6)*(x**2 + 3*x)


In [7]: fp1(t)
Out[7]: (4*t + 6)*(t**2 + 3*t)

In [8]: fp1(2)
Out[8]: 140  

ou

In [9]: fp2 = sy.lambdify(x, sy.diff(f(x),x))

In [10]: fp2(x)
Out[10]: (4*x + 6)*(x**2 + 3*x)

In [11]: fp2(2)
Out[11]: 140  

Recherche 11-8

Calculez et factorisez les dérivées et les limites quand elles existent aux bornes des ensembles de définition des fonctions définies par les expressions suivantes :

  • \(f_1(x)=e^x+x^2+1\)
  • \(f_2(x)=5e^x+5xe^x\)
  • \(f_3(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\)
  • \(f_4(x)=\dfrac{3x+1-e^x}{e^{x}}\)
  • \(f_5(x)=x^3e^{-x}\)
  • \(f_6(x)=\dfrac{x^2e^{x}}{x+1}\)
  • \(f_7(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\)
  • \(f_8(x)=\dfrac{1}{e^x}\)
  • \(f_{9}(x)=\left(e^x\right)^2+\dfrac{1}{e^x}\)
  • \(f_{10}(x)=e^{-x}\)
  • \(f_{11}(x)=e^{4x+1}\)
  • \(f_{12}(x)=e^{5x^3+7x+4}\)
  • \(f_{13}(x)=(x+1)e^{-x+1}\)
  • \(f_{14}(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}\)
  • \(f_{15}(x)=e^{\cos(x)}\)

Vérifiez avec Python. Par exemple :

In [169]: f1 = lambda x : sy.exp(x) + x**2 + 1

In [170]: sy.limit(f1(x), x, sy.oo)
Out[170]: oo

In [171]: sy.limit(f1(x), x, -sy.oo)
Out[171]: oo

In [172]: sy.diff(f1(x), x)
Out[172]: 
       x
2.x + e