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Rappel N° 11 - Intégration⚓︎

Intégrales et aires algébriques⚓︎

Rappel

On rappelle que \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) est l'aire algébrique entre la courbe représentative de \(f\) et l'axe des abscisses du repère lorsque les bornes sont dans le sens croissant.

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Recherche 11-1

Sans chercher à calculer les intégrales suivantes, donner leur signe.

  1. \(\displaystyle\int_{-2}^{3} x^{2}+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\)
  2. \(\displaystyle\int_{5}^{-3}|\sin (7 x)| d x\)
  3. \(\displaystyle\int_{0}^{-1} \sin (x) \mathrm{d} x\)
  1. On intègre une fonction positive et les bornes sont « dans le bon sens ».
  2. \(\int_{5}^{-3}|\sin (7 x)| \mathrm{d} x=-\int_{-3}^{5}|\sin (7 x)| \mathrm{d} x\). Cette dernière intégrale a ses bornes « dans le bon sens », on peut l'interpréter comme une aire. Elle est positive car on intègre une fonction positive.
  3. \(\int_{0}^{-1} \sin (x) \mathrm{d} x=-\int_{-1}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x\). Cette dernière intégrale a ses bornes « dans le bon sens ", on peut l'interpréter comme une aire. sin est négative sur \([-\pi, 0]\) donc sur \([-1,0], \int_{-1}^{0} \sin x \mathrm{~d} x\) est donc négative.

Recherche 11-2

En se ramenant à des aires, calculer de tête les intégrales suivantes.

  1. \(\displaystyle\int_{1}^{3} 7 \mathrm{~d} x \)
  2. \(\displaystyle\int_{0}^{7} 3 x \mathrm{~d} x\)
  3. \(\displaystyle\int_{-2}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x \)
  4. \(\displaystyle\int_{7}^{-3}-5 \mathrm{~d} x \)
  5. \(\displaystyle\int_{2}^{8}(1-2 x) d x\)
  6. \(\displaystyle\int_{-2}^{1}|x| \mathrm{d} x\)
  1. Il s'agit de l'aire d'un rectangle de largeur 2 et de longueur 7 .
  2. On commence par mettre les bornes « dans le bon sens \(»: \int_{7}^{-3}-5 \mathrm{~d} x=-\int_{-3}^{7}-5 \mathrm{~d} x=\int_{-3}^{7} 5 \mathrm{~d} x\). Cette dernière intégrale est l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent 10 et 5 .
  3. Il s'agit de l'aire du triangle dont les sommets sont l'origine \(O\), le point \(A(7 ; 0)\) et \(B(7 ; 21)\). Ce triangle est rectangle en \(A\) et son aire est \(\frac{1}{2} \times A O \times A B\).
  4. Les bornes sont «dans le bon sens », on peut donc interpréter l'intégrale comme une aire algébrique. Sur l'intervalle \([2,8]\), la courbe de \(f(x)=1-2 x\) est située sous l'axe des abscisses, l'aire algébrique sera négative. Il s'agit de calculer l'aire du trapèze rectangle dont les sommets sont \(A(2 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ;-15)\) et \(D(2 ;-3)\). L'aire de ce trapèze rectangle est \(\frac{1}{2} \times A B \times(A D+B C)=\frac{1}{2} \times 6 \times(3+15)\).
  5. Avec la relation de Chasles, on a \(\int_{-2}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x\).La fonction sinus étant impaire, les aires algébriques \(\int_{-2}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x\) et \(\int_{0}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x\) sont opposées, il suit que leur somme est nulle.
  6. Les bornes étant «dans le bon sens », on interprète cette intégrale comme une aire algébrique. Cette aire est composée de deux triangles rectangles (les intégrales de -2 à 0 et de 0 à 1 ).

Calcul d'intégrales⚓︎

On rappelle que si \(F\) est une primitive de \(f\) alors \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)\), que l'on note \([F(x)]_{a}^{b}\).

Recherche 11-3 Polynômes

Calculer les intégrales suivantes.

  1. \(\displaystyle\int_{-1}^{3} 2 \mathrm{~d} x \)
  2. \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 x^{5}-5 x^{3}\right) \mathrm{d} x\)
  3. \(\displaystyle\int_{1}^{3}(2 x-5) \mathrm{d} x\)
  4. \(\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{5}-x^{4}\right) d x\)
  5. \(\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^{2}+x+1\right) \mathrm{d} x\)
  6. \(\displaystyle\int_{1}^{-1} x^{100} \mathrm{~d} x\)
  1. Les bornes étant «dans le bon sens », on interprète cette intégrale comme une aire algébrique d'un rectangle.
  2. \( \int_{1}^{3}(2 x-5) \mathrm{d} x=\left[x^{2}-5 x\right]_{1}^{3}=\left(3^{2}-15\right)-\left(1^{2}-5\right)=-2\).
  3. \(\int_{-2}^{0} x^{2}+x+1 \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+x\right]_{-2}^{0}=0-\left(\frac{1}{3}(-2)^{3}+\frac{1}{2}(-2)^{2}-2\right)=\frac{8}{3}\).
  4. La fonction intégrée est impaire, son intégrale sur un segment symétrique par rapport à 0 est donc nulle.
  5. \(\int_{0}^{1} x^{5}-x^{4} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{6} x^{6}-\frac{1}{5} x^{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{30}\)
  6. \(\int_{1}^{-1} x^{100} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{101} x^{101}\right]_{1}^{-1}=-\frac{2}{101}\)

Recherche 11-4 Fonctions usuelles

Calculer.

  1. \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (x) \mathrm{d} x \)
  2. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^{2}}\)
  3. \(\displaystyle\int_{-3}^{2} e^{x} d x\)
  4. \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos (x) \mathrm{d} x\)
  5. \(\displaystyle\int_{1}^{100} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \)
  6. \(\displaystyle\int_{-3}^{-1} \dfrac{\mathrm{d} x}{x}\)
  1. La fonction intégrée est impaire, son intégrale sur un segment symétrique par rapport à 0 est donc nulle.
  2. \(\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \mathrm{~d} x=[\sin x]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}=2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=1\)
  3. \(\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\).
  4. \( \int_{1}^{100} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=[2 \sqrt{x}]_{1}^{100}=18\)
  5. \(\int_{-3}^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-3}^{2}=\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-3}\).
  6. \(\int_{-3}^{-1} \frac{\mathrm{d} x}{x}=[\ln |x|]_{-3}^{-1}=-\ln 3\).

Recherche 11-5

Calculer les intégrales suivantes.

  1. \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(2 x+1)^{3} \mathrm{~d} x\)
  2. \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (3 x) \mathrm{d} x\)
  3. \(\displaystyle\int_{-2}^{4} \mathrm{e}^{\dfrac{1}{2} x+1} \mathrm{~d} x\)
  4. \(\displaystyle\int_{0}^{33} \dfrac{1}{\sqrt{3 x+1}} d x\)
  5. \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{d} x}{\pi x+2}\)
  6. \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right) \mathrm{d} x\)
  1. \(\int_{-1}^{2}(2 x+1)^{3} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{8}(2 x+1)^{4}\right]_{-1}^{2}=\frac{625}{8}-\frac{1}{8}=78\).
  2. \(\int_{-2}^{4} \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x+1} \mathrm{~d} x=\left[2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x+1}\right]_{-2}^{4}=2\left(\mathrm{e}^{3}-1\right)\).
  3. \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\pi x+2}=\left[\frac{1}{\pi} \ln |\pi x+2|\right]_{0}^{1}=\frac{1}{\pi} \ln \left(\frac{\pi+2}{2}\right)\).
  4. \( \int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (3 x) \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{3} \cos (3 x)\right]_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\).
  5. \(\int_{0}^{33} \frac{1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x=\left[\frac{2}{3} \sqrt{3 x+1}\right]_{0}^{33}=\frac{2}{3}(10-1)=6\).
  6. \(\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \mathrm{d} x=\left[-\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}=-\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Réponses mélangées (il y en a en trop...)⚓︎

\[{\small \begin{aligned} &\dfrac{\sqrt{2}}{6}\ \dfrac{2 \pi}{9}\ {\left(1-\dfrac{1}{2}\right)}\ 8\ 50\ \dfrac{99}{\ln 10} \ 0 \ \dfrac{\pi}{4} \ \dfrac{1}{2} \ \dfrac{1}{384}\ \dfrac{5}{2} \ \mathrm{ Négatif }\ \\ &\dfrac{2}{3} \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \mathrm{e}^{2}\ \dfrac{147}{2}\ -\dfrac{1}{30} \ \mathrm{ Positif }\ 0 \ 78\ 0\ 0\ 0\ \mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-3} \\ &\dfrac{5}{8} \ -\dfrac{1}{3} \ 14 \ 3 \ \mathrm{e}-4 \ \ln \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\mathrm{e}+1} \ -2\ \mathrm{Positif}\ 18\ 6\ \dfrac{\mathrm{e}-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}{2} \\ & -\dfrac{2}{101}\ 1\ 0\ -54\ -\ln 3\ 2\left(\mathrm{e}^{3}-1\right)\ \dfrac{7}{48} \dfrac{1}{\pi}\ \ln \left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \dfrac{17}{2} \ \dfrac{8}{3} \end{aligned}} \]