Rappel N° 11 - Intégration⚓︎
Intégrales et aires algébriques⚓︎
Rappel
On rappelle que \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) est l'aire algébrique entre la courbe représentative de \(f\) et l'axe des abscisses du repère lorsque les bornes sont dans le sens croissant.
Recherche 11-1
Sans chercher à calculer les intégrales suivantes, donner leur signe.
- \(\displaystyle\int_{-2}^{3} x^{2}+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\)
- \(\displaystyle\int_{5}^{-3}|\sin (7 x)| d x\)
- \(\displaystyle\int_{0}^{-1} \sin (x) \mathrm{d} x\)
- On intègre une fonction positive et les bornes sont « dans le bon sens ».
- \(\int_{5}^{-3}|\sin (7 x)| \mathrm{d} x=-\int_{-3}^{5}|\sin (7 x)| \mathrm{d} x\). Cette dernière intégrale a ses bornes « dans le bon sens », on peut l'interpréter comme une aire. Elle est positive car on intègre une fonction positive.
- \(\int_{0}^{-1} \sin (x) \mathrm{d} x=-\int_{-1}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x\). Cette dernière intégrale a ses bornes « dans le bon sens ", on peut l'interpréter comme une aire. sin est négative sur \([-\pi, 0]\) donc sur \([-1,0], \int_{-1}^{0} \sin x \mathrm{~d} x\) est donc négative.
Recherche 11-2
En se ramenant à des aires, calculer de tête les intégrales suivantes.
- \(\displaystyle\int_{1}^{3} 7 \mathrm{~d} x \)
- \(\displaystyle\int_{0}^{7} 3 x \mathrm{~d} x\)
- \(\displaystyle\int_{-2}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x \)
- \(\displaystyle\int_{7}^{-3}-5 \mathrm{~d} x \)
- \(\displaystyle\int_{2}^{8}(1-2 x) d x\)
- \(\displaystyle\int_{-2}^{1}|x| \mathrm{d} x\)
- Il s'agit de l'aire d'un rectangle de largeur 2 et de longueur 7 .
- On commence par mettre les bornes « dans le bon sens \(»: \int_{7}^{-3}-5 \mathrm{~d} x=-\int_{-3}^{7}-5 \mathrm{~d} x=\int_{-3}^{7} 5 \mathrm{~d} x\). Cette dernière intégrale est l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent 10 et 5 .
- Il s'agit de l'aire du triangle dont les sommets sont l'origine \(O\), le point \(A(7 ; 0)\) et \(B(7 ; 21)\). Ce triangle est rectangle en \(A\) et son aire est \(\frac{1}{2} \times A O \times A B\).
- Les bornes sont «dans le bon sens », on peut donc interpréter l'intégrale comme une aire algébrique. Sur l'intervalle \([2,8]\), la courbe de \(f(x)=1-2 x\) est située sous l'axe des abscisses, l'aire algébrique sera négative. Il s'agit de calculer l'aire du trapèze rectangle dont les sommets sont \(A(2 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ;-15)\) et \(D(2 ;-3)\). L'aire de ce trapèze rectangle est \(\frac{1}{2} \times A B \times(A D+B C)=\frac{1}{2} \times 6 \times(3+15)\).
- Avec la relation de Chasles, on a \(\int_{-2}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x\).La fonction sinus étant impaire, les aires algébriques \(\int_{-2}^{0} \sin (x) \mathrm{d} x\) et \(\int_{0}^{2} \sin (x) \mathrm{d} x\) sont opposées, il suit que leur somme est nulle.
- Les bornes étant «dans le bon sens », on interprète cette intégrale comme une aire algébrique. Cette aire est composée de deux triangles rectangles (les intégrales de -2 à 0 et de 0 à 1 ).
Calcul d'intégrales⚓︎
On rappelle que si \(F\) est une primitive de \(f\) alors \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)\), que l'on note \([F(x)]_{a}^{b}\).
Recherche 11-3 Polynômes
Calculer les intégrales suivantes.
- \(\displaystyle\int_{-1}^{3} 2 \mathrm{~d} x \)
- \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 x^{5}-5 x^{3}\right) \mathrm{d} x\)
- \(\displaystyle\int_{1}^{3}(2 x-5) \mathrm{d} x\)
- \(\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{5}-x^{4}\right) d x\)
- \(\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^{2}+x+1\right) \mathrm{d} x\)
- \(\displaystyle\int_{1}^{-1} x^{100} \mathrm{~d} x\)
- Les bornes étant «dans le bon sens », on interprète cette intégrale comme une aire algébrique d'un rectangle.
- \( \int_{1}^{3}(2 x-5) \mathrm{d} x=\left[x^{2}-5 x\right]_{1}^{3}=\left(3^{2}-15\right)-\left(1^{2}-5\right)=-2\).
- \(\int_{-2}^{0} x^{2}+x+1 \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+x\right]_{-2}^{0}=0-\left(\frac{1}{3}(-2)^{3}+\frac{1}{2}(-2)^{2}-2\right)=\frac{8}{3}\).
- La fonction intégrée est impaire, son intégrale sur un segment symétrique par rapport à 0 est donc nulle.
- \(\int_{0}^{1} x^{5}-x^{4} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{6} x^{6}-\frac{1}{5} x^{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{30}\)
- \(\int_{1}^{-1} x^{100} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{101} x^{101}\right]_{1}^{-1}=-\frac{2}{101}\)
Recherche 11-4 Fonctions usuelles
Calculer.
- \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (x) \mathrm{d} x \)
- \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^{2}}\)
- \(\displaystyle\int_{-3}^{2} e^{x} d x\)
- \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos (x) \mathrm{d} x\)
- \(\displaystyle\int_{1}^{100} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \)
- \(\displaystyle\int_{-3}^{-1} \dfrac{\mathrm{d} x}{x}\)
- La fonction intégrée est impaire, son intégrale sur un segment symétrique par rapport à 0 est donc nulle.
- \(\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \mathrm{~d} x=[\sin x]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}=2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=1\)
- \(\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\).
- \( \int_{1}^{100} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=[2 \sqrt{x}]_{1}^{100}=18\)
- \(\int_{-3}^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-3}^{2}=\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-3}\).
- \(\int_{-3}^{-1} \frac{\mathrm{d} x}{x}=[\ln |x|]_{-3}^{-1}=-\ln 3\).
Recherche 11-5
Calculer les intégrales suivantes.
- \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(2 x+1)^{3} \mathrm{~d} x\)
- \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (3 x) \mathrm{d} x\)
- \(\displaystyle\int_{-2}^{4} \mathrm{e}^{\dfrac{1}{2} x+1} \mathrm{~d} x\)
- \(\displaystyle\int_{0}^{33} \dfrac{1}{\sqrt{3 x+1}} d x\)
- \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{d} x}{\pi x+2}\)
- \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right) \mathrm{d} x\)
- \(\int_{-1}^{2}(2 x+1)^{3} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{8}(2 x+1)^{4}\right]_{-1}^{2}=\frac{625}{8}-\frac{1}{8}=78\).
- \(\int_{-2}^{4} \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x+1} \mathrm{~d} x=\left[2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x+1}\right]_{-2}^{4}=2\left(\mathrm{e}^{3}-1\right)\).
- \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\pi x+2}=\left[\frac{1}{\pi} \ln |\pi x+2|\right]_{0}^{1}=\frac{1}{\pi} \ln \left(\frac{\pi+2}{2}\right)\).
- \( \int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \sin (3 x) \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{3} \cos (3 x)\right]_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\).
- \(\int_{0}^{33} \frac{1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x=\left[\frac{2}{3} \sqrt{3 x+1}\right]_{0}^{33}=\frac{2}{3}(10-1)=6\).
- \(\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \mathrm{d} x=\left[-\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}=-\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Réponses mélangées (il y en a en trop...)⚓︎
\[{\small
\begin{aligned}
&\dfrac{\sqrt{2}}{6}\ \dfrac{2 \pi}{9}\ {\left(1-\dfrac{1}{2}\right)}\ 8\ 50\
\dfrac{99}{\ln 10} \ 0 \ \dfrac{\pi}{4} \ \dfrac{1}{2} \ \dfrac{1}{384}\
\dfrac{5}{2} \ \mathrm{ Négatif }\ \\
&\dfrac{2}{3} \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \mathrm{e}^{2}\
\dfrac{147}{2}\ -\dfrac{1}{30} \ \mathrm{ Positif }\ 0 \ 78\ 0\ 0\ 0\ \mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-3} \\
&\dfrac{5}{8} \ -\dfrac{1}{3} \ 14 \ 3 \ \mathrm{e}-4 \ \ln
\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\mathrm{e}+1} \ -2\
\mathrm{Positif}\ 18\ 6\ \dfrac{\mathrm{e}-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}{2} \\
& -\dfrac{2}{101}\ 1\ 0\ -54\ -\ln 3\ 2\left(\mathrm{e}^{3}-1\right)\ \dfrac{7}{48} \dfrac{1}{\pi}\ \ln \left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \dfrac{17}{2} \ \dfrac{8}{3}
\end{aligned}}
\]