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Rappel N° 12 - Inégalités⚓︎

Consignes pour les « Vrai ou Faux ? »

Pour répondre vrai, donner une démonstration.

Pour répondre faux, montrer que c'est absurde ou donner un contre-exemple.

Pour s'échauffer⚓︎

Placeholder

Recherche 12-1

Vrai-Faux : Soient deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \(1<a<2\) et \(-5<b<-3\)

  1. \(-4<a+b<-1 \)
  2. \(\dfrac{-2}{3}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{-1}{5}\)
  3. \(6<a-b<5\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{a-1}}{b^{2}}<\dfrac{1}{25}\)
  5. \(-19<3 b-2 a<-11 \)
  6. \(a^{2} \leqslant a\)
  7. \(-5<a b<-6\)
  8. \(\forall n \in \mathbb{N},(-5)^{n}<b^{n}<(-3)^{n}\)
  1. \(1<a<2\) et \(-5<b<-3\) donc (somme membre à membre de deux encadrement) \(1-5<a+b<2-3\)
  2. On n'a jamais \(6<a-b<5\) car \(6>5\). En effet, on ne peut soustraire des inégalités, éventuellement multiplier par -1 (avec précaution) puis sommer, ce qui donne \(4<a-b<7\)
  3. \(1<a<2\) et \(-5<b<-3\) donc \(-4<-2 a<-2\) et \(-15<3 b<-9\) donc (somme membre à membre de deux encadrements) \(-4-15<3 b-2 a<-2-9\)
  4. On n'a jamais \(-5<a b<-6\) car \(-5>-6\)
  5. \(-5<b<-3\) donc \(\left(x \rightarrow-\frac{1}{x}\right.\) croissante sur \(\left.\mathbb{R}_{-}^{*}\right) \quad \frac{1}{5}<-\frac{1}{b}<\frac{2}{3}\) de plus \(1<a<2\), donc (produit membre à membre de deux encadrements avec des nombres positifs) \(\frac{1}{5}<-\frac{a}{b}<\frac{2}{3}\)
  6. D'une part \(1<a<2\) donc \(0<\sqrt{a-1}<1\), d'autre part \(-5<b<-3\) donc \(0<\frac{1}{b^{2}}<\frac{1}{25}\) donc (produit membre à membre de deux encadrements avec des nombres positifs) \(\frac{\sqrt{a-1}}{b^{2}}<\frac{1}{25}\)
  7. \(1<a<2\) donc \(a>1\) et \(a-1>0\) ce qui donne \(a^{2}-a>0\) par produit d'inégalités à termes positifs.
  8. faux en prenant par exemple pour \(n=2\)

Recherche 12-2

Vrai-Faux : Soient deux réels \(a\) et \(b\)

  1. \(-a b \leqslant \dfrac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\)
  2. \(|a| \leqslant 1+a^{2}\)
  3. \(\dfrac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right) \leqslant a b\)
  4. \(a(1- 1. \leqslant \dfrac{1}{4}\)
  1. \(-a b \leqslant \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right) \Longleftrightarrow(a+b)^{2} \geqslant 0\)
  2. Il suffit de prendre comme contre-exemple \((a, b)=(1,0)\)
  3. 1er cas : Si \(|a| \leqslant 1\), alors \(|a| \leqslant 1+a^{2}, \quad\) 2ème cas : Si \(|a|>1\) alors \(|a|^{2}>|a|\) donc \(|a| \leqslant 1+a^{2}\)
  4. \(a(1-a) \leqslant \frac{1}{4} \Longleftrightarrow a^{2}-a+\frac{1}{4} \geqslant 0 \Longleftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} \geqslant 0\)

Recherche 12-3

Vrai-Faux : Soit \(x\) un réel

  1. \(\sin (x) \leqslant(\sin (x))^{2}\)
  2. \((\sin (x))^{2} \leqslant|\sin (x)|\)
  3. \((\sin (x))^{2} \leqslant \sin (x)\)
  4. \(1-\cos (2 x) \leqslant 2|\sin (x)|\)
  1. Contre-exemple \(: x=\frac{\pi}{6}\)
  2. Contre-exemple \(: x=-\frac{\pi}{6}\)
  3. \(|\sin (x)| \leqslant 1\) donc on multipliant par \(|\sin (x)| \geqslant 0\) il vient \((\sin (x))^{2} \leqslant|\sin (x)|\)
  4. On sait que \(1-\cos (2 x)=2(\sin (x))^{2}\) et en utilisant le résultat de la question précédente on obtient : \(1-\cos (2 x) \leqslant 2|\sin (x)|\)

Pour comparer des intégrales⚓︎

Recherche 12-4

Vrai-Faux : On note \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie par \(u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{(\ln x)^{n}}{1+x} d x\).

Soient \(x\) un réel tel que \(1 \leqslant x \leqslant 2\) et \(n\) un entier naturel.

  1. \(0 \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant(\ln (2))^{n}\)

  2. \(0 \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x}\) 1. \(0 \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \)

  3. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) est décroissante.

  4. \(\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant \dfrac{1}{2} \)

  5. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) est bornée.

  6. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) converge vers \(0 \).

  1. comme \(x \in[1,2]\), on a \(0 \leqslant \ln (x) \leqslant \ln (2)\) donc \(0 \leqslant(\ln (x))^{n} \leqslant(\ln (2))^{n}\) et \(0 \leqslant \frac{1}{x+1} \leqslant 1\) donc (produit membre à membre de deux encadrements avec des nombres positifs) \(0 \leqslant \frac{(\ln (x))^{n}}{x+1} \leqslant(\ln (2))^{n}\)
  2. Contre-exemple \(: x=2\) et \(n=1\) sachant que \(0<\ln (2)<1\) donc \(\ln (2)^{2}<\ln (2)\)
  3. comme \(x \in[1,2]\), on a \(0 \leqslant \ln (x) \leqslant \ln (2) \leqslant 1\) donc \(0 \leqslant(\ln (x))^{n+1} \leqslant(\ln (x))^{n}\) donc \(0 \leqslant \frac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x} \leqslant \frac{(\ln (x))^{n}}{1+x}\)
  4. Contre-exemple : \(x=1\) et \(n=1\)
  5. On a vu que pour tout \(x \in[1,2], \quad \frac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x} \leqslant \frac{(\ln (x))^{n}}{1+x}, \quad\) donc (croissance de l'intégrale) \(u_{n+1} \leqslant u_{n}\)
  6. On a vu que pour tout \(x \in[1,2], 0 \leqslant \frac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant(\ln (2))^{n}, \quad\) donc (croissance de l'intégrale) \(0 \leqslant u_{n} \leqslant(\ln (2))^{n}\), comme \(0<\ln (2)<1\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 0 \leqslant u_{n} \leqslant 1\).
  7. On a vu que pour tout \(x \in[1,2], 0 \leqslant \frac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant(\ln (2))^{n}, \quad\) donc (croissance de l'intégrale) \(0 \leqslant u_{n} \leqslant(\ln (2))^{n}\), comme \(-1<\ln (2)<1\), en utilisant le théorème des gendarmes on obtient que \(\left(u_{n}\right)\) converge vers 0 .

Recherche 12-5

Vrai-Faux : On note \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie par \(u_{n}=\displaystyle\int_{1 / 2}^{1} \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} d x\) .

Soient \(x\) un réel tel que \(\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1\) et \(n\) un entier naturel.

  1. \((\ln (1 / 2))^{n} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \)

  2. \(0 \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x}\)

  3. \(0 \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n}}{1+x} \leqslant \dfrac{(\ln (x))^{n+1}}{1+x}\)

  4. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) est monotone.

  5. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) converge vers \(0 . \)

  1. Contre-exemple \(: x=1\) et \(n=1\) sachant que \(\ln \left(\frac{1}{2}\right)<0\)
  2. Contre-exemple : \(x=\frac{1}{2}\) et \(n=1\) sachant que \(\ln \left(\frac{1}{2}\right)<0\)
  3. Contre-exemple \(: x=\frac{1}{2}\) et \(n=1\) sachant que \(\ln \left(\frac{1}{2}\right)<0\)
  4. \(u_{1}<0, u_{2}>0\) et \(u_{3}<0\) donc \(u_{1}<u_{2}\) et \(u_{2}>u_{3}\).
  5. \(\left|u_{n}\right| \leqslant \int_{1 / 2}^{1}\left|\frac{(\ln (x))^{n}}{1+x}\right| \mathrm{d} x \quad\) or pour tout \(x \in[1 / 2 ; 1], 0 \leqslant|\ln (x)| \leqslant \ln (2) \quad\) et \(\quad 0 \leqslant \frac{1}{1+x} \leqslant 1\). Donc \(\left|u_{n}\right| \leqslant \frac{1}{2}(\ln (2))^{n}\) de plus \(-1<\ln (2)<1\) donc () théorème des gendarmes \()\left(u_{n}\right)\) converge vers 0 .

Pour comparer des sommes⚓︎

Recherche 12-6

Vrai-Faux : On note \(\left(T_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) la suite définie par \(T_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2 n} \dfrac{1}{k}\)

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).

  1. \(\dfrac{1}{2} \leqslant T_{n} \leqslant 1 \)

  2. La suite \(\left(T_{n}\right)_{n}\) converge

  3. \(T_{n+1} \leqslant T_{n}\)

  1. Chacun des \(n\) termes de la somme est compris entre 0 et 1.
  2. Chacun des \(n\) termes de la somme est compris entre \(\frac{1}{2 n}\) et \(\frac{1}{n+1}\).
  3. \(T_{n+1}-T_{n}=\frac{1}{2 n+2}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)}>0\)
  4. \( T_{n+1}-T_{n}=\frac{1}{2 n+2}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \geqslant 0\)
  5. La suite \(\left(T_{n}\right)\) est croissante majorée donc elle converge.

Recherche 12-7

Vrai-Faux : On définit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) par \(u_{n}=-2 \sqrt{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\).

Soient \(n\) et \(k\) deux entiers naturels non nuls.

  1. \(u_{n+1} \leqslant u_{n} \cdot \) 1. \(\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \leqslant \dfrac{1}{2 \sqrt{k}} \leqslant \sqrt{k}-\sqrt{k-1} \)

  2. \(u_{n} \leqslant u_{n+1} \)

  3. La suite \(\left(u_{n}\right)_{n}\) est bornée.

  1. \(u_{n+1}-u_{n}=-2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) or \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \leqslant 2 \sqrt{n+1} \quad\) donc \(u_{n+1}-u_{n} \leqslant 0\)
  2. \(u_{n+1}-u_{n}=-2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) or \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2 \sqrt{n+1} \quad\) donc \(u_{n+1}-u_{n}<0\)
  3. D'une part : \(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \leqslant \frac{1}{2 \sqrt{k}}\). D'autre part : \(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{k}}\)
  4. En sommant les encadrements précédents et en simplifiant les sommes télescopiques, il vient \( \sqrt{n+1}-1 \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leqslant \sqrt{n}\) donc \(-2 \sqrt{n}+2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant u_{n} \leqslant 0\) et comme \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \geqslant 0\) donc \(-2 \leqslant u_{n} \leqslant 0\)

Réponses mélangées⚓︎

Faux Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Faux Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Faux Faux Faux Vrai Vrai Faux Vrai Faux Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Vrai Vrai