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Rappel N° 2 - Fractions⚓︎

Au collège⚓︎

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Questions, indications et réponses

Chaque exercice est corrigé mais surtout ne regardez le corrigé qu'en dernier recours ! La plupart du temps, vous trouverez à la fin de la première série d'énoncés les réponses mélangées.

Pour les QCM, vous cocherez vos réponses et obtiendrez votre score. Dans un second onglet vous pourrez vérifier chaque réponse puis ensuite vous aurez les corrigés.

Petits rappels

Pour tous réels non nuls \(a, b, c, d, k\) :

\[ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}, \quad \dfrac{k a}{k b}=\dfrac{a}{b} \]
\[ \dfrac{1}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}=\dfrac{d}{c}, \quad \dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}=\dfrac{a d}{b c} \]
\[ \dfrac{a}{d}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{d}. \]

!!!

Visualiser une fraction⚓︎

No comment...Mais bon, vouys pouvez toujours aller voir ceci...

Calculs dans l'ensemble des rationnels⚓︎

Recherche 2-1 Simplification de fractions

Simplifier les fractions suivantes (la lettre \(k\) désigne un entier naturel non nul).

  1. \(\dfrac{32}{40}\)
  2. \(\dfrac{27^{-1} \times 4^{2}}{3^{-4} \times 2^{4}}\)
  3. \(8^{3} \times \dfrac{1}{4^{2}}\)
  4. \(\dfrac{(-2)^{2 k+1} \times 3^{2 k-1}}{4^{k} \times 3^{-k+1}}\)
  1. \(\frac{32}{40}=\frac{8 \times 4}{8 \times 5}=\frac{4}{5}\)
  2. \( 8^{3} \times \frac{1}{4^{2}}=(2 \times 4)^{3} \times \frac{1}{4^{2}}=2^{3} \times 4^{3} \times \frac{1}{4^{2}}=2^{3} \times 4=2^{5}\)
  3. \(\frac{27^{-1} \times 4^{2}}{3^{-4} \times 2^{4}}=\frac{\left(3^{3}\right)^{-1} \times\left(2^{2}\right)^{2}}{3^{-4} \times 2^{4}}=\frac{3^{4}}{3^{3}}=3\)
  4. On a \(: \frac{(-2)^{2 k+1} \times 3^{2 k-1}}{4^{k} \times 3^{-k+1}}=\frac{(-2) \times(-2)^{2 k} \times 3^{2 k} \times 3^{-1}}{4^{k} \times 3^{-k} \times 3}=\frac{(-2) \times 4^{k} \times 3^{2 k} \times 3^{k}}{4^{k} \times 3^{2}}=-2 \times 3^{3 k-2}\)

Recherche 2-2 Sommes, produits, quotients, puissances

Écrire les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible.

  1. \(\dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{3}\)
  2. \(\dfrac{36}{25} \times \dfrac{15}{12} \times 5\)
  3. \(\dfrac{2}{3}-0,2\)
  4. \(-\dfrac{2}{15} \div\left(-\dfrac{6}{5}\right)\)
  1. On met au même dénominateur : \(\frac{2}{4}-\frac{1}{3}=\frac{2 \times 3}{4 \times 3}-\frac{1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{6}{12}-\frac{4}{12}=\frac{6-4}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\).

  2. On transforme 0,2 en fraction et on met au même dénominateur : \(\frac{2}{3}-0,2=\frac{2}{3}-\frac{2}{10}=\frac{2 \times 10}{3 \times 10}-\frac{2 \times 3}{10 \times 3}=\frac{20}{30}-\frac{6}{30}=\frac{20-6}{30}=\frac{14}{30}=\frac{7 \times 2}{15 \times 2}=\frac{7}{15}\)

  3. Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \(\frac{36}{25} \times \frac{15}{12} \times 5=\frac{36}{25} \times \frac{15}{12} \times \frac{5}{1}=\frac{36 \times 15 \times 5}{25 \times 12 \times 1}=\frac{12 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5}{5 \times 5 \times 12 \times 1}=\frac{3 \times 3}{1}=\frac{9}{1}=9\)

  4. Pour diviser une fraction par une autre, on la multiplie par la fraction inverse de la deuxième fraction : \(-\frac{2}{15} \div\left(-\frac{6}{5}\right)=-\frac{2}{15} \times\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{2}{15} \times \frac{5}{6}=\frac{2 \times 5}{15 \times 6}=\frac{2 \times 5}{3 \times 5 \times 2 \times 3}=\frac{1}{9}\)

Recherche 2-3 Sommes, produits, quotients, puissances

Écrire les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible.

  1. \((2 \times 3 \times 5 \times 7)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)\)
  2. \(\left(\dfrac{136}{15}-\dfrac{28}{5}+\dfrac{62}{10}\right) \times \dfrac{21}{24}\)
  3. \(\dfrac{5^{10} \times 7^{3}-25^{5} \times 49^{2}}{(125 \times 7)^{3}+5^{9} \times 14^{3}}\)
  4. \(\dfrac{1978 \times 1979+1980 \times 21+1958}{1980 \times 1979-1978 \times 1979}\)
  1. On développe : \( \begin{aligned}(2 \times 3 \times 5 \times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) & =\frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{2}+\frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{3}+\frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{5}+\frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{7} \\& =3 \times 5 \times 7+2 \times 5 \times 7+2 \times 3 \times 7+2 \times 3 \times 5\\&=105+70+42+30=247 .\end{aligned}\)

  2. On simplifie d'abord, puis on applique les règles de calcul : \(\begin{aligned}\left(\frac{136}{15}-\frac{28}{5}+\frac{62}{10}\right) \times \frac{21}{24} & =\left(\frac{136}{15}-\frac{28}{5}+\frac{31}{5}\right) \times \frac{7}{8} \\& =\left(\frac{136}{15}+\frac{3}{5}\right) \times \frac{7}{8}=\left(\frac{136}{15}+\frac{9}{15}\right) \times \frac{7}{8}=\frac{145}{15} \times \frac{7}{8}=\frac{29}{3} \times \frac{7}{8}=\frac{203}{24} .\end{aligned}\)

  3. On simplifie d'abord les termes comportant des exposants : \(\frac{5^{10} \times 7^{3}-25^{5} \times 49^{2}}{(125 \times 7)^{3}+5^{9} \times 14^{3}}=\frac{5^{10} \times 7^{3}-5^{10} \times 7^{4}}{5^{9} \times 7^{3}+5^{9} \times 7^{3} \times 2^{3}}=\frac{5^{10} \times 7^{3}(1-7)}{5^{9} \times 7^{3}\left(1+2^{3}\right)}=\frac{5 \times(-6)}{9}=\frac{-10}{3}\)
  4. On calcule : \(\begin{aligned}\frac{1978 \times 1979+1980 \times 21+1958}{1980 \times 1979-1978 \times 1979} & =\frac{1978 \times 1979+1979 \times 21+21+1958}{1979 \times(1980-1978)} \\& =\frac{1979 \times(1978+21)+1979}{1979 \times 2}=\frac{1979 \times(1978+21+1)}{1979 \times 2}=\frac{1979 \times 2000}{1979 \times 2} \\& =1000 .\end{aligned}\)

Recherche 2-4 Des nombres décimaux et des fractions.

Dans chaque cas, donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

  1. 0,2
  2. 1,35
  3. \(\dfrac{1}{3}-0,3\)
  4. \(0,36\)
  5. \(1,5+\dfrac{2}{3}\)
  6. \(\dfrac{13,5}{18,2-3,2}\)

oooohhhh

Recherche 2-5 Une grosse fraction

Écrire \(\dfrac{0,5-\dfrac{3}{17}+\dfrac{3}{37}}{\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{17}+\dfrac{5}{37}}+\dfrac{0,5-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-0,2}{\dfrac{7}{5}-\dfrac{7}{4}+\dfrac{7}{3}-3,5}\) sous forme d'une fraction irréductible.

Et un petit calcul...

\(\begin{aligned}\frac{0,5-\frac{3}{17}+\frac{3}{37}}{\frac{5}{6}-\frac{5}{17}+\frac{5}{37}}+\frac{0,5-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-0,2}{\frac{7}{5}-\frac{7}{4}+\frac{7}{3}-3,5} & =\frac{\frac{3}{6}-\frac{3}{17}+\frac{3}{37}}{\frac{5}{6}-\frac{5}{17}+\frac{5}{37}}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}-\frac{7}{4}+\frac{7}{3}-\frac{7}{2}} \\& =\frac{3\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{17}+\frac{1}{37}\right)}{5\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{17}+\frac{1}{37}\right)}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{-7\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)}=\frac{3}{5}-\frac{1}{7}=\frac{16}{35} .\end{aligned}\)

Recherche 2-6 Le calcul littéral à la rescousse.

En utilisant les identités remarquables et le calcul littéral, calculer les nombres suivants.

  1. \(\dfrac{2022}{(-2022)^{2}+(-2021)(2023)}\)
  2. \(\dfrac{1235 \times 2469-1234}{1234 \times 2469+1235}\)
  3. \(\dfrac{2021^{2}}{2020^{2}+2022^{2}-2}\)
  4. \(\dfrac{4002}{1000 \times 1002-999 \times 1001}\)
  1. On connaît l'identité remarquable : \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\). Donc \(: \frac{2022}{(-2022)^{2}+(-2021)(2023)}=\frac{2022}{(2022)^{2}+(1-2022) \times(1+2022)}=\frac{2022}{(2022)^{2}+1-2022^{2}}=2022\).

  2. On fait apparaître 2021 dans 2020 et 2022 au dénominateur : \( \begin{aligned}\frac{2021^{2}}{2020^{2}+2022^{2}-2} & =\frac{2021^{2}}{(2021-1)^{2}+(2021+1)^{2}-2} \\& =\frac{2021^{2}}{2021^{2}-2 \times 2021 \times 1+1+2021^{2}+2 \times 2021 \times 1+1-2} \\& =\frac{2021^{2}}{2021^{2}-2 \times 2021 \times 1+2021^{2}+2 \times 2021 \times 1}=\frac{2021}{2021-2+2021+2}=\frac{1}{2} .\end{aligned}\)

  3. En posant \(a=1234\), on a : \(1235=a+1\) et \(2469=2 a+1\). Donc : \(\frac{1235 \times 2469-1234}{1234 \times 2469+1235}=\frac{(a+1)(2 a+1)-a}{a(2 a+1)+a+1}=\frac{2 a^{2}+2 a+1}{2 a^{2}+2 a+1}=1\)

  4. En posant \(a=1000\), on a : \(999=a-1,1001=a+1,1002=a+2\) et \(4002=2 a+2\). Donc : \(\frac{4002}{1000 \times 1002-999 \times 1001}=\frac{4 a+2}{a(a+2)-(a-1)(a+1)}=\frac{2(2 a+1)}{a^{2}+2 a-\left(a^{2}-1\right)}=\frac{2(2 a+1)}{2 a+1}=2\).

Recherche 2-7 Les fractions et le calcul littéral.

Mettre sous la forme d'une seule fraction, qu'on écrira sous la forme la plus simple possible.

  1. \(\dfrac{1}{(n+1)^{2}}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\) pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\)

  2. \(\dfrac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{2}}-\dfrac{(a+b)^{2}}{a-b}\) pour \((a, b) \in \mathbb{Z}^{3}\), distincts deux à deux.

  3. \(\dfrac{\dfrac{6(n+1)}{n(n-1)(2 n-2)}}{\dfrac{2 n+2}{n^{2}(n-1)^{2}}}\) pour \(n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1,2\}\)

  1. On met au même dénominateur. Cela donne :

    \(\begin{aligned}\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} & =\frac{n}{n(n+1)^{2}}+\frac{n(n+1)}{n(n+1)^{2}}-\frac{(n+1)^{2}}{n(n+1)^{2}}=\frac{n+n(n+1)-(n+1)^{2}}{n(n+1)^{2}} \\& =\frac{n+n^{2}+n-\left(n^{2}+2 n+1\right)}{n(n+1)^{2}}=\frac{-1}{n(n+1)^{2}} .\end{aligned}\)

  2. On rappelle la formule \(: a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a b+a^{2}+b^{2}\right)\). Cela donne : \(\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{2}}-\frac{(a+b)^{2}}{a-b}=\frac{(a-b)\left(a b+a^{2}+b^{2}\right)}{(a-b)^{2}}-\frac{(a+b)^{2}}{a-b}=\frac{a b+a^{2}+b^{2}}{a-b}-\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{a-b}=-\frac{a b}{a-b}\)

  3. Pour \(n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1,2\}\), on a : \( \frac{\frac{6(n+1)}{n(n-1)(2 n-2)}}{\frac{2 n+2}{n^{2}(n-1)^{2}}}=\frac{6(n+1)}{n(n-1)(2 n-2)} \times \frac{n^{2}(n-1)^{2}}{2 n+2}=\frac{6(n+1)}{2(n-1)} \times \frac{n(n-1)}{2(n+1)}=\frac{3}{2} n\)

Recherche 2-8 Le quotient de deux sommes de Gauss.

Simplifier \(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n^{2}} k}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), en utilisant la formule \(1+2+\cdots+p=\dfrac{p(p+1)}{2} \ldots \ldots\)

\(\operatorname{De} \sum_{k=0}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}\), on a \(: \frac{\sum_{k=0}^{n^{2}} k}{\sum_{k=0}^{n} k}=\frac{\frac{n^{2}\left(n^{2}+1\right)}{2}}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{n^{2}\left(n^{2}+1\right)}{2} \frac{2}{n(n+1)}=\frac{n\left(n^{2}+1\right)}{n+1}=\frac{n^{3}+n}{n+1}\).

Recherche 2-9 Décomposition en somme d'une partie entière et d'une partie décimale.

Soit \(k \in \mathbb{R} \backslash\{1\}\) et \(x \in \mathbb{R} \backslash\{2\}\). Écrire les fractions suivantes sous la forme \(a+\dfrac{b}{c}\) avec \(b<c\).

  1. \(\dfrac{29}{6}\)
  2. \(\dfrac{k}{k-1}\)
  3. \(\dfrac{3 x-1}{x-2}\)
  1. On trouve \(\frac{29}{6}=\frac{4 \times 6+5}{6}=4+\frac{5}{6}\).
  2. On trouve \(\frac{k}{k-1}=\frac{k-1+1}{k-1}=1+\frac{1}{k-1}\).

  3. On trouve \(\frac{3 x-1}{x-2}=\frac{3(x-2)+5}{x-2}=3+\frac{5}{x-2}\).

Recherche 2-10 Un produit de fractions

Soit \(t \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}\). On donne \(A=\dfrac{1}{1+t^{2}}-\dfrac{1}{(1+t)^{2}}\) et \(B=\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}\).

Simplifier \(A\times B\) autant que possible.

Pour \(t \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}\), on a : \(A=\frac{1}{1+t^{2}}-\frac{1}{(1+t)^{2}}=\frac{(1+t)^{2}}{\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}}-\frac{1+t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}}=\frac{1+2 t+t^{2}-\left(1+t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}}=\frac{2 t}{\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}}\)

Donc, \(A B=\left(\frac{2 t}{\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}}\right) \times\left(1+t^{2}\right)(1+t)^{2}=2 t\)

Comparaison⚓︎

Recherche 2-11 Règles de comparaison.

Comparer les fractions suivantes avec le signe \(«>», «<»\) ou \(«=»\).

  1. \(\dfrac{3}{5} \ldots \dfrac{5}{9}\)
  2. \(\dfrac{12}{11} \ldots \dfrac{10}{12}\)
  3. \(\dfrac{125}{25} \ldots \dfrac{105}{21}\)
  1. \(\frac{3}{5}=\frac{27}{45}>\frac{5}{9}=\frac{25}{45}\)
  2. \(\frac{125}{25}=5=\frac{105}{21}\)

Recherche 2-12 Produit en croix.

Les nombres \(A=\dfrac{33215}{66317}\) et \(B=\dfrac{104348}{208341}\) sont-ils égaux?

Nous allons étudier les produits en croix.

On sait que \(A=B\), si et seulement si \(33215 \times 208341=66317 \times 104348\). Le nombre de gauche est le produit de deux nombres impair, il est impair. Par contre, le nombre de droite est le produit de deux nombres de parités différentes, il est pair. Par conséquent, l'égalité n'est pas vérifiée. \(A\) et \(B\) ne sont pas égaux.

Recherche 2-13 Produit en croix.

On pose \(A=\dfrac{100001}{1000001}\) et \(B=\dfrac{1000001}{10000001}:\) a-t-on \(A>B, A=B\) ou \(A<B\) ?

On re-écrit \(A=\frac{10^{5}+1}{10^{6}+1}\) et \(B=\frac{10^{6}+1}{10^{7}+1}\). Nous allons étudier les produits en croix.

D'une part calculons : \(\left(10^{5}+1\right) \times\left(10^{7}+1\right)=10^{12}+10^{7}+10^{5}+1\).

D'autre part : \(\left(10^{6}+1\right)^{2}=10^{12}+2 \times 10^{6}+1\).

Comme \(\left(10^{5}+1\right) \times\left(10^{7}+1\right)>\left(10^{6}+1\right) \times\left(10^{6}+1\right)\), on obtient \(: A>B\).

Réponses mélangées⚓︎

\[{\small \begin{aligned} & 1000 \quad 2 t \quad \dfrac{13}{6} \quad 3 \quad \text { Non } \quad 2^{5} \quad \dfrac{-1}{n(n+1)^{2}} \quad \dfrac{3}{2} n \quad-\dfrac{a b}{a-b} \\ & \dfrac{12}{11}>\dfrac{10}{12} \quad \dfrac{n^{3}+n}{n+1} \quad \dfrac{1}{30} \quad 1+\dfrac{1}{k-1} \quad A>B \quad \dfrac{27}{20} \quad \dfrac{1}{9} \quad 2 \quad \dfrac{1}{5} \\ & \dfrac{9}{25} \quad \dfrac{203}{24} \quad \dfrac{-10}{3} \quad 1 \quad 247 \quad 4+\dfrac{5}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{3}{5}>\dfrac{5}{9} \quad \dfrac{9}{10} \quad \dfrac{7}{15} \\ & \dfrac{4}{5} \quad-2 \times 3^{3 k-2} \quad 2022 \quad \dfrac{16}{35} \quad 3+\dfrac{5}{x-2} \quad 9 \quad \dfrac{125}{25}=\dfrac{105}{21} \quad \dfrac{1}{2} \end{aligned}} \]

QCM⚓︎

Recherche 2-14

Cliquez sur vos propositions aux 9 questions puis validez.

\(\dfrac{4 x^{2}}{\dfrac{2}{x^{2}}}=\)
\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x+1}{x}=\)
\(\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{2}{x}=\)
\(\dfrac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\)
\(\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}-1=\)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\)
\(2-\dfrac{2 x+1}{x+2}=\)
\(2-\dfrac{(x+1)^{2}}{x}=\)
\(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\)
ValiderRecharger

Cliquez et vous saurez tout de suite si vous avez vu juste :

  1. \(\dfrac{4 x^{2}}{\dfrac{2}{x^{2}}}=\)
  2. \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x+1}{x}=\)
  3. \(\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{2}{x}=\)
  4. \(\dfrac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\)
  5. \(\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}-1=\)
  6. \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\)
  7. \(2-\dfrac{2 x+1}{x+2}=\)
  8. \(2-\dfrac{(x+1)^{2}}{x}=\)
  9. \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\)
  1. \(\mathrm{A}\);
  2. A (mise au même dénominateur)
  3. \(\mathrm{B} \operatorname{car} \frac{1}{x(x+1)}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{2(x+1)}{x(x+1)}=\frac{-2 x-1}{x(x+1)}\).
  4. \(\mathrm{C} \operatorname{car} \frac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)^{4}}=\frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^{4}}=\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\). En effet \((x-1)^{4}=(-(1-x))^{4}=(1-x)^{4}\) puisque 4 est pair.

  5. A (mise au même dénominateur)

  6. \(\mathrm{C}\) (multiplier en haut et en bas par \(a b)\)
  7. A (mise au même dénominateur)
  8. B (mise au même dénominateur)
  9. B (mise au même dénominateur, en utilisant que \(\left.(x-1)(x+1)=x^{2}-1\right)\)