Rappel N° 3 - Puissances

Calculs

Petits rappels

Étant donné un réel \(x \in \mathbb{R}\) et un entier non nul \(n \in \mathbb{N}\), on pose :

\[ x^{n}=\underbrace{x \times \ldots \times x}_{n \text { fois }} \]

et, par convention, \(x^{0}=1\).

Enfin, si \(x \neq 0\), on définit les puissances entières négatives de \(x\) en posant:

\(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\left(\right.\) en particulier \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) ).

Alors, pour tous entiers \(n, p \in \mathbb{Z}\), on a :

\((x y)^{n}=x^{n} y^{n}, \quad\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}, \quad x^{n} x^{p}=x^{n+p}, \quad\left(x^{n}\right)^{p}=x^{n p}, \quad \frac{x^{p}}{x^{n}}=x^{p-n}\)

Recherche 3-1

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une puissance de 10.

1. \(10^{5} \cdot 10^{3}\)
2. \(\dfrac{10^{5}}{10^{3}}\)
3. \(\dfrac{10^{-5}}{10^{-3}}\)
4. \(\left(10^{5}\right)^{3}\)
5. \(\dfrac{\left(10^{5} \cdot 10^{-3}\right)^{5}}{\left(10^{-5} \cdot 10^{3}\right)^{-3}}\)
6. \(\dfrac{\left(10^{3}\right)^{-5} \cdot 10^{5}}{10^{3} \cdot 10^{-5}}\)

oooohhhh

Recherche 3-2

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une puissance de 10.

1. \(0,001 \)
2. \(\dfrac{0,01^{2}}{0,1^{5}}\)
3. \(\dfrac{1000 \cdot 0,01^{3}}{0,1^{3} \cdot 0,01^{2}}\)
4. \(10^{3} \cdot 0,01^{3} \)
5. \(0,001^{-2} \cdot 1000^{2}\)
6. \(\dfrac{\left(0,01^{3}\right)^{-2}}{0,1^{-3} \cdot\left(100^{-2}\right)^{-3}}\)

1. oooohhhh

2. \(\quad 10^{3} \cdot 0,01^{3}=10^{3} \cdot\left(10^{-2}\right)^{3}=10^{3} \cdot 10^{-6}=10^{-3}\)

3. \(\quad \frac{0,01^{2}}{0,1^{5}}=\frac{10^{-4}}{10^{-5}}=10^{1}\)

4. \(\quad 0,001^{-2} \cdot 1000^{2}=\left(10^{-3}\right)^{-2} \cdot 10^{6}=10^{12}\)

5. \(\quad \frac{1000 \cdot 0,01^{3}}{0,1^{3} \cdot 0,01^{2}}=\frac{10^{3} \cdot 10^{-6}}{10^{-3} \cdot 10^{-4}}=10^{-3} \cdot 10^{7}=10^{4}\)

6. \(\frac{\left(0,01^{3}\right)^{-2}}{0,1^{-3} \cdot\left(100^{-2}\right)^{-3}}=\frac{\left(10^{-6}\right)^{-2}}{10^{3} \cdot\left(10^{-4}\right)^{-3}}=\frac{1}{10^{3}}=10^{-3}\)

Recherche 3-3

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme sous la forme \(a^{n}\) avec \(a\) et \(n\) deux entiers relatifs.

1. \(3^{4} \cdot 5^{4}\)
2. \(\dfrac{2^{5}}{2^{-2}}\)
3. \(\dfrac{6^{5}}{2^{5}}\)
4. \(\left(5^{3}\right)^{-2}\)
5. \((-7)^{3} \cdot(-7)^{-5}\)
6. \(\dfrac{\left(30^{4}\right)^{7}}{2^{28} \cdot 5^{28}}\)

Quand même....

Recherche 3-4

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme \(2^{n} \cdot 3^{p}\), où \(n\) et \(p\) sont deux entiers relatifs.

1. \(\dfrac{2^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4} \cdot 2^{8} \cdot 6^{-1}}\)
2. \(\dfrac{3^{22}+3^{21}}{3^{22}-3^{21}}\)
3. \(2^{21}+2^{22}\)
4. \(\dfrac{\left(3^{2} \cdot(-2)^{4}\right)^{8}}{\left((-3)^{5} \cdot 2^{3}\right)^{-2}}\)

1. \(\quad \frac{2^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4} \cdot 2^{8} \cdot 6^{-1}}=\frac{2^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4} \cdot 2^{8} \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-1}}=\frac{2^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4-1} \cdot 2^{8-1}}=\frac{2^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3} \cdot 2^{7}}=2^{3-7} \cdot 3^{2-3}=2^{-4} \cdot 3^{-1}\).
2. On factorise \(: 2^{21}+2^{22}=2^{21}+2^{21} \cdot 2=2^{21} \cdot(1+2)=2^{21} \cdot 3\).
3. On factorise au numérateur et au dénominateur \(: \frac{3^{22}+3^{21}}{3^{22}-3^{21}}=\frac{(3+1) \cdot 3^{21}}{(3-1) \cdot 3^{21}}=\frac{4}{2}=2\).
4. On simplifie en appliquant les règles habituelles de calcul avec les puissances, et en exploitant le fait que \((-a)^{n}=a^{n}\) lorsque \(n\) est pair \(: \frac{\left(3^{2} \cdot(-2)^{4}\right)^{8}}{\left((-3)^{5} \cdot 2^{3}\right)^{-2}}=\frac{3^{16} \cdot 2^{32}}{3^{-10} \cdot 2^{-6}}=2^{38} \cdot 3^{26}\).

Recherche 3-5

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, simplifier au maximum.

1. \(\dfrac{8^{17} \cdot 6^{-6}}{9^{-3} \cdot 2^{42}}\)
2. \(\dfrac{12^{-2} \cdot 15^{4}}{25^{2} \cdot 18^{-4}}\)
3. \(\dfrac{55^{2} \cdot 121^{-2} \cdot 125^{2}}{275 \cdot 605^{-2} \cdot 25^{4}}\)
4. \(\dfrac{36^{3} \cdot 70^{5} \cdot 10^{2}}{14^{3} \cdot 28^{2} \cdot 15^{6}}\)

1. On fait apparaitre les facteurs premiers 2 et \(3: \frac{8^{17} \cdot 6^{-6}}{9^{-3} \cdot 2^{42}}=\frac{2^{3 \cdot 17} \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{2 \cdot(-3)} \cdot 2^{42}}=\frac{2^{51-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-6} \cdot 2^{42}}=2^{45-42}=2^{3}=8\).
2. Avec les facteurs premiers 5 et \(11: \frac{55^{2} \cdot 121^{-2} \cdot 125^{2}}{275 \cdot 605^{-2} \cdot 25^{4}}=\frac{(5 \cdot 11)^{2} \cdot\left(11^{2}\right)^{-2} \cdot\left(5^{3}\right)^{2}}{5^{2} \cdot 11 \cdot\left(11^{2} \cdot 5\right)^{-2} \cdot\left(5^{2}\right)^{4}}=\frac{5^{8} \cdot 11^{-2}}{5^{8} \cdot 11^{-3}}=11\).
3. On fait apparaitre les facteurs premiers 2,3 et \(5: \frac{12^{-2} \cdot 15^{4}}{25^{2} \cdot 18^{-4}}=\frac{\left(2^{2}\right)^{-2} \cdot 3^{-2} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4}}{\left(5^{2}\right)^{2} \cdot 2^{-4} \cdot\left(3^{2}\right)^{-4}}=\frac{2^{-4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{4}}{2^{-4} \cdot 3^{-8} \cdot 5^{4}}=3^{10}\)
4. Même méthode que précédemment : \(\frac{36^{3} \cdot 70^{5} \cdot 10^{2}}{14^{3} \cdot 28^{2} \cdot 15^{6}}=\frac{2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 7^{5} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}{2^{3} \cdot 7^{3} \cdot 2^{4} \cdot 7^{2} \cdot 3^{6} \cdot 5^{6}}=\frac{2^{13} \cdot 3^{6} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}{2^{7} \cdot 3^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{5}}=2^{6} \cdot 5\).

Recherche 3-6

ÉnoncéCorrigé

Dans chaque cas, simplifier au maximum l'expression en fonction du réel \(x\).

1. \(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{x^{2}-1}\).
2. \(\dfrac{x^{2}}{x^{2}-x}+\dfrac{x^{3}}{x^{3}+x^{2}}-\dfrac{2 x^{2}}{x^{3}-x}\)
3. \(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{8}{x^{2}-4}\)
4. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{x+2}{x^{2}-4}+\dfrac{2}{x^{2}-2 x}\)

1. On met au même dénominateur les deux premières écritures fractionnaires : \(\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-1}=\) \(\frac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}+x-2 x+2}{(x+1)(x-1)}-\frac{2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^{2}-x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x+1}\)
2. Même méthode \(: \frac{2}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{8}{x^{2}-4}=\frac{2(x-2)-(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{8}{(x+2)(x-2)}=\frac{2 x-4}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2}\)
3. On commence par simplifier les puissances superflues, puis c'est le même principe que précédemment : \(\frac{x^{2}}{x^{2}-x}+\frac{x^{3}}{x^{3}+x^{2}}-\frac{2 x^{2}}{x^{3}-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}-\frac{2 x}{x^{2}-1}=\frac{x(x+1+x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{2 x}{(x+1)(x-1)}=\frac{2 x^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{2 x}{x+1}\)
4. \(\frac{1}{x}+\frac{x+2}{x^{2}-4}+\frac{2}{x^{2}-2 x}=\frac{1}{x}+\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x(x-2)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x(x-2)}+\frac{2}{x(x-2)}=\frac{2}{x-2}\)

Réponses mélangées

\[{\small \begin{aligned} & 3^{28} \quad 11 \quad 10^2 \quad 8 \quad \dfrac{2x}{x+1} \quad 15^4 \quad (-7)^{-2} \quad \dfrac{x}{x+1}\\ & 2^{38}×3^{26}\quad 2^7 \quad 2^6×5 \quad 2 \quad 2^{-4}×3^{-1} \quad 10^{-8}\quad 10^{15} \quad 10^4 \quad \dfrac{2}{x-2} \\ &3^{10} \quad 5^{-6} \quad 3^5 \quad 2^{21}×3 \quad 10^{-2} \quad \dfrac{1}{x-2} \quad 10^8\\ \end{aligned} }\]

QCM

Recherche 3-7

QCMRéponsesRéponses et commentaires

\(a, b, x, C\) représentent des réels, \(n\) et \(k\) représentent des entiers. Cliquez sur vos propositions à toutes les questions puis validez.

\( a^{5} a^{3}=\)

\(a^{5^{3}} \)\(a^{15}\)\(a^{8}\)

\(a^{2} b^{3}= \)

\((a b)^{2} b \) \((a b)^{5}\)\((a b)^{6}\)

\( \left(a^{2}\right)^{n}=\)

\( a^{2 n}\) \(a^{2+n}\)\(a^{2^{n}}\)

\(\left(3^{n}\right)^{2}= \)

\(3^{n^{2}} \)\(6^{n}\)\(9^{n}\)

\(\left(a^{n^{2}}\right)^{3}=\)

\(a^{3 n^{2}}\)\(a^{n^{8}}\)\(a^{n^{6}}\)

\(\dfrac{a^{n^{2}}}{a^{n}}=\)

\(a^{n}\)\(a^{n^{2}-n}\) \(a^{2 n}\)

\(a^{3 n}\left(a^{n}\right)^{2}=\)

\(a^{5 n}\)\(a^{6 n}\)\(a^{3 n^{3}}\)

\(2^{-2 k} \times 3^{k}=\)

\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{k}\)\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}\)\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2 k}\)

\(3^{2 k+1} \times 2^{-k}=\)

\(3\left(\dfrac{9}{2}\right)^{-k}\)\(9\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}\)\(3\left(\dfrac{9}{2}\right)^{k}\)

\(2\left(2 \times 3^{n}-3 \times 2^{n}\right)=\)

\(\left(4 \times 12^{n}-6 \times 4^{n}\right)\)\(\left(4 \times 3^{n}-3 \times 4^{n}\right)\)\(\left(4 \times 3^{n}-3 \times 2^{n+1}\right)\)

\(2^{n}+2^{n}=\)

\(4^{n}\)\(2^{n+1}\)\(2^{2 n}\)

\((-1)^{n+2}=\)

\((-1)^{n+1}\)\(-(-1)^{n}\)\((-1)^{n}\)

\(\dfrac{1}{(-1)^{n}}=\)

\((-1)^{n+1}\)\(-(-1)^{n}\)\((-1)^{n}\)

\((-1)^{n+1}+(-1)^{n}=\)

012

\((-2)^{2 n+1}=\)

\(2^{2 n+1}\)\((-4)^{n+1}\)\(-2 \times 4^{n}\)

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Cliquez et vous saurez tout de suite si vous avez vu juste :

1. \(a^{5} a^{3}= \)
   \(a^{5^{3}} \)\(a^{15}\) \(a^{8}\)
2. \(a^{2} b^{3}= \)
   \((a b)^{2} b \) \((a b)^{5}\)\((a b)^{6}\)
3. \(\left(a^{2}\right)^{n}= \)
   \( a^{2 n}\) \(a^{2+n}\)\(a^{2^{n}}\)
4. \(\left(3^{n}\right)^{2}= \)
   \(3^{n^{2}} \)\(6^{n}\)\(9^{n}\)
5. \(\left(a^{n^{2}}\right)^{3}=\)
   \(a^{3 n^{2}}\)\(a^{n^{8}}\)\(a^{n^{6}}\)
6. \(\dfrac{a^{n^{2}}}{a^{n}}=\)
   \(a^{n}\)\(a^{n^{2}-n}\) \(a^{2 n}\)
7. \(a^{3 n}\left(a^{n}\right)^{2}=\)
   \(a^{5 n}\)\(a^{6 n}\)\(a^{3 n^{3}}\)
8. \(2^{-2 k} \times 3^{k}=\)
   \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{k}\)\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}\)\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2 k}\)
9. \(3^{2 k+1} \times 2^{-k}=\)
   \(3\left(\dfrac{9}{2}\right)^{-k}\)\(9\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}\)\(3\left(\dfrac{9}{2}\right)^{k}\)
10. \(2\left(2 \times 3^{n}-3 \times 2^{n}\right)=\)
    \(\left(4 \times 12^{n}-6 \times 4^{n}\right)\)\(\left(4 \times 3^{n}-3 \times 4^{n}\right)\)\(\left(4 \times 3^{n}-3 \times 2^{n+1}\right)\)
11. \(2^{n}+2^{n}=\)
    \(4^{n}\)\(2^{n+1}\)\(2^{2 n}\)
12. \((-1)^{n+2}=\)
    \((-1)^{n+1}\)\(-(-1)^{n}\)\((-1)^{n}\)
13. \(\dfrac{1}{(-1)^{n}}=\)
    012
14. \((-1)^{n+1}+(-1)^{n}=\)
    012
15. \((-2)^{2 n+1}=\)
    \(2^{2 n+1}\)\((-4)^{n+1}\)\(-2 \times 4^{n}\)

8. A, \(\operatorname{car} 2^{-2 k} \times 3^{k}=\frac{3^{k}}{2^{2 k}}=\frac{3^{k}}{\left(2^{2}\right)^{k}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{k}\).
9. \(\mathrm{C}, \operatorname{car} 3^{2 k+1} \times 2^{-k}=\frac{3^{2 k} \times 3}{2^{k}}=\frac{\left(3^{2}\right)^{k} \times 3}{2^{k}}=3\left(\frac{9}{2}\right)^{k}\)
10. C, car \(2 \times 2^{n}=2^{n+1}\).
11. \(\mathrm{B}\), car \(2^{n}+2^{n}=2 \times 2^{n}=2^{n+1}\)
12. C, car \((-1)^{n+2}=(-1)^{2} \times(-1)^{n}=1 \times(-1)^{n}=(-1)^{n}\).
13. \(\mathrm{C}: \frac{1}{(-1)^{n}}=\frac{1 \times(-1)^{n}}{(-1)^{n} \times(-1)^{n}}=\frac{(-1)^{n}}{(-1)^{2 n}}=(-1)^{n} \cdot\left(2 n\right.\) est pair donc \(\left.(-1)^{2 n}=1\right)\) Alternativement, on peut utiliser le fait que \((-1)^{n}\) vaut 1 si \(n\) est pair et -1 si \(n\) est impair ; par conséquent, \(\frac{1}{(-1)^{n}}\) vaut \(\frac{1}{1}=1\) si \(n\) est pair et \(\frac{1}{-1}=-1\) si \(n\) est impair. On en déduit que \(\frac{1}{(-1)^{n}}=(-1)^{n}\), puisque ces deux expressions prennent toujours la même valeur quelle que soit la parité de \(n\).
14. \(\mathrm{A}\), \(\operatorname{car}(-1)^{n+1}+(-1)^{n}=(-1) \times(-1)^{n}+(-1)^{n}=-(-1)^{n}+(-1)^{n}=0\).
15. C, car \((-2)^{2 n+1}=(-2) \times(-2)^{2 n}=-2 \times\left((-2)^{2}\right)^{n}=-2 \times 4^{n}\).