Rappel N° 4 - Calcul littéral

Dans cette section, on tâchera de mener les calculs avec le minimum d'étapes. La variable \(x\) représente un nombre réel.

Développer, réduire et ordonner

Petits rappels

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}, \quad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}, \quad a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) . \]

Remarques :

• La formule pour \((a+b)^{2}\) se généralise au cas d'une somme de trois termes ou plus; il faut juste tenir compte de tous les doubles produits possibles :

\[ (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c \]

• On voit en première année de classe préparatoire la formule du binôme de Newton, qui donne une expression générale pour \((a+b)^{n}\) :

\[ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{k} b^{n-k} \]

Vous pouvez déjà retenir ce que donne cette formule dans le cas \(n=3\) :

\[ (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \]

Recherche 4-1

ÉnoncéCorrigé

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes selon les puissances décroissantes de \(x\).

1. \(\left(2 x-\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)
2. \((x+1)^{2}(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\)
3. \((x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)\)
4. \((x-1)^{2}(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\)
5. \((x+1)^{2}(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)\)
6. \(\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\)

1. On utilise directement l'identité remarquable \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\).

2. On peut écrire: \((x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)=\left(x^{3}-3 x^{2}+3 x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\)

   \(=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1\). Pour être "efficace", il suffit de rechercher directement le coefficient du terme d'un degré donné (sachant que \(\left.\left(a x^{n}\right)\left(b x^{p}\right)=a b x^{n+p}\right)\). Par exemple, dans l'expression finale et en utilisant l'étape intermédiaire, le coefficient du terme de degré 2 est donné par \((-3) \times 1+3 \times 1+(-1) \times 1=-1\). Ici, l'étape intermédiaire n'étant pas compliquée (à effectuer et à retenir), on peut (éventuellement) se passer de l'écrire.

3. Connaissant les identités remarquables \((x-1)(x+1)=x^{2}-1\) et \((x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=x^{3}+1\), on a facilement : \((x+1)^{2}(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)=[(x+1)(x-1)]\left[(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\right]\)

   \(=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{3}+1\right)=x^{5}-x^{3}+x^{2}-1.\) Que pensez-vous de la nécessité d'écrire les étapes intermédiaires?

4. On calcule \((x+1)^{2}(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=\left(x^{2}+2 x+1\right)\left(x^{3}-1\right)\)

   \(=x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-1\).

5. On calcule \((x-1)^{2}(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{3}-1\right)\)

   \(=x^{5}-x^{3}-x^{2}+1\).

Recherche 4-2

ÉnoncéCorrigé

Développer, réduire et ordonner les expressions polynomiales suivantes selon les puissances croissantes de \(x\).

1. \((x-2)^{2}\left(-x^{2}+3 x-1\right)-(2 x-1)\left(x^{3}+2\right)\)

2. \((2 x+3)(5 x-8)-(2 x-4)(5 x-1)\)

3. \(\left((x+1)^{2}(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)+1\right) x-x^{6}-x^{5}+2\)

4. \((x+1)(x-1)^{2}-2\left(x^{2}+x+1\right)\)

5. \(\left(x^{2}+\sqrt{2} x+1\right)\left(1-\sqrt{2} x+x^{2}\right)\)

6. \(\left(x^{2}+x+1\right)^{2}\)

RAS

Factoriser

Recherche 4-3 Petite mise en jambe.

ÉnoncéCorrigé

Factoriser les expressions polynomiales de la variable réelle \(x\) suivantes.

1. \(-(6 x+7)(6 x-1)+36 x^{2}-49\)
2. \(25-(10 x+3)^{2}\)
3. \((6 x-8)(4 x-5)+36 x^{2}-64\)
4. \((-9 x-8)(8 x+8)+64 x^{2}-64\)

1. Une identité remarquable fait apparaître le facteur commun \(6 x+7\). On calcule alors \(-(6 x+7)(6 x-1)+36 x^{2}-49=-(6 x+7)(6 x-1)+(6 x)^{2}-7^{2}=(6 x+7)[-(6 x-1)+6 x-7]=-6(6 x+7)\)

2. On calcule \(25-(10 x+3)^{2}=5^{2}-(10 x+3)^{2}=(10 x+8)(-10 x+2)=4(5 x+4)(-5 x+1)\).

Recherche 4-4 À l'aide de la forme canonique.

ÉnoncéCorrigé

Donner la forme canonique puis factoriser les polynômes de degré deux suivants.

On rappelle que la forme canonique de \(a x^{2}+b x+c\) est \(a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4 a c}{4a^{2}}\right]\) (où \(\left.a \neq 0\right)\).

1. \(x^{2}-2 x+1\)
2. \(3 x^{2}+7 x+1\)
3. \(x^{2}+4 x+4\)
4. \(2 x^{2}+3 x-28\)
5. \(x^{2}+3 x+2\)
6. \(-5 x^{2}+6 x-1\)

1. RAS
2. RAS
3. La forme canonique est \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\). On en déduit la factorisation à l'aide de l'identité remarquable \(a^{2}-b^{2}=\)

Recherche 4-5 Avec plusieurs variables.

ÉnoncéCorrigé

Factoriser sur \(\mathbb{R}\) les expressions polynomiales suivantes dont les variables représentent des nombres réels.

1. \((x+y)^{2}-z^{2}\)
2. \(x y-x-y+1\)
3. \(x^{2}+6 x y+9 y^{2}-169 x^{2}\)
4. \(x^{3}+x^{2} y+2 x^{2}+2 x y+x+y\)
5. \(x y+x+y+1\)
6. \(y^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)+16 x^{4}\left(-a^{2}-b^{2}\right)\).

1. RAS
2. On calcule \(x^{2}+6 x y+9 y^{2}-169 x^{2}=(x+3 y)^{2}-(13 x)^{2}=(14 x+3 y)(-12 x+3 y)\).
3. RAS
4. RAS
5. On calcule \(x^{3}+x^{2} y+2 x^{2}+2 x y+x+y=(x+y)\left(x^{2}+2 x+1\right)=(x+y)(x+1)^{2}\).

Recherche 4-6 On passe au niveau supérieur.

ÉnoncéCorrigé

Factoriser sur \(\mathbb{R}\) les expressions polynomiales suivantes dont les variables représentent des nombres réels.

1. \(\left(-9 x^{2}+24\right)\left(8 x^{2}+8\right)+64 x^{4}-64\)
2. \(x^{4}+x^{2}+1\)
3. \((a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}\)
4. \((a p+b q+c r+d s)^{2}+(a q-b p-c s+d r)^{2}+(a r+b s-c p-d q)^{2}+(a s-b r+c q-d p)^{2}\)

1. On calcule \(x^{4}-1=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)\).
2. On calcule \(\left(-9 x^{2}+24\right)\left(8 x^{2}+8\right)+64 x^{4}-64=-8\left(x^{2}+1\right)\left[9 x^{2}-24-8\left(x^{2}-1\right)\right]=-8\left(x^{2}+1\right)(x-4)(x+4)\).
3. On calcule \(x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2 x^{2}+1-x^{2}=\left(x^{2}+1\right)-x^{2}=\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\). La factorisation est alors terminée sur \(\mathbb{R}\) puisque les deux équations, \(x^{2}+x+1=0\) et \(x^{2}-x+1=0\), n'ont pas de solutions réelles.
4. Une fois n'est pas coutume : on peut commencer par développer avant de factoriser. Ce qui donne \((a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}=a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) .\) Remarque : signalons tout de même qu'une autre voie (sans calcul) consiste à interpréter en termes de module d'un produit de deux nombres complexes...mais il faudra attendre de les avoir étudiés pour les maths comps.

Réponses mélangées

\[{\small \begin{aligned} & x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-1 \quad 2+x^{3}-x^{4}-x^{5} \quad 8 x^{3}-6 x^{2}+\frac{3}{2} x-\frac{1}{8} \\ & x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1 \quad-1-3 x-3 x^{2}+x^{3} \quad(x+y-z)(x+y+z) \\ & -5\left[\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}-\frac{4}{25}\right] \text { et }-5(x-1)\left(x-\frac{1}{5}\right) \quad-2+12 x-17 x^{2}+8 x^{3}-3 x^{4} \\ & x^{5}-x^{3}+x^{2}-1 \quad x^{5}-x^{3}-x^{2}+1 \quad(x-1)^{2} \quad(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right) \\ & 3\left[\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}-\frac{37}{36}\right] \text { et } 3\left(x+\frac{7-\sqrt{37}}{6}\right)\left(x+\frac{7+\sqrt{37}}{6}\right) \\ & \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right) \quad(x+1)(y+1) \quad-8(x+1)(x+16) \quad(x+2)^{2} \\ & 2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{233}{16}\right] \text { et } 2\left(x+\frac{3-\sqrt{233}}{4}\right)\left(x+\frac{3+\sqrt{233}}{4}\right) \quad\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right) \\ & 1+2 x+3 x^{2}+2 x^{3}+x^{4} \quad\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} \text { et }(x+1)(x+2) \quad 1+x^{4} \\ & -6(6 x+7) \quad 2(3 x-4)(10 x+3) \quad(14 x+3 y)(-12 x+3 y) \quad 4(5 x+4)(-5 x+1) \\ & \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(y-4 x^{2}\right)\left(y+4 x^{2}\right) \quad(x+y)(x+1)^{2} \quad\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \\ & -8\left(x^{2}+1\right)(x-4)(x+4) \quad-28+21 x \quad(x-1)(y-1) \quad x^{4}+x^{2}+1 \end{aligned} }\]

QCM

Recherche 4-7

QCMRéponsesRéponses et commentaires

Pour chaque expression, une seule égalité est correcte. \(a, b, x, t\) représentent des réels.

Cliquez sur vos propositions à toutes les questions puis validez.

\(\frac{4 x^{2}}{\dfrac{2}{x^{2}}}=\)

\(2 x^{4}\)28

\(\frac{1}{2}-\frac{x+1}{x}=\)

\(-\left(\frac{x+2}{2 x}\right)\)\(\frac{x-2}{2 x}\)\(\frac{-x+2}{2 x}\)

\(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{2}{x}=\)

\(\frac{-2 x-1}{x^{2}(x+1)}\)\(\frac{-2 x-1}{x(x+1)}\)\(\frac{-2 x+3}{x(x+1)}\)

\(\frac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\)

\(-\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\)\(\frac{1+x}{(x-1)^{3}}\)\(\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\)

\(\frac{e^{t}}{1+e^{t}}-1=\)

\(\frac{-1}{1+e^{t}}\)\(\frac{2 e^{t}-1}{1+e^{t}}\)\(\frac{e^{t}-1}{1+e^{t}}\)

\(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\)

\(a+b\)\(\frac{1}{a+b}\)\(\frac{a b}{a+b}\)

\(2-\frac{2 x+1}{x+2}=\)

\(\frac{3}{x+2}\)\(\frac{5}{x+2}\)\(\frac{4 x+3}{x+2}\)

\(2-\frac{(x+1)^{2}}{x}=\)

\(\frac{-x^{2}+1}{x}\)\(\frac{-x^{2}-1}{x}\)\(-\frac{x^{2}-1}{x}\)

\(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\)

\(\frac{2}{(x-1)}\)\(\frac{2}{x^{2}-1}\)\(\frac{2 x}{(x-1)(x+1)}\)

\(\frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}=\)

\(\frac{x-2}{x^{2}-1}\)\(\frac{x}{x^{2}-1}\)\(\frac{-x}{x^{2}-1}\)

\(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\)

\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{-2+\sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\)

\(\frac{-1}{\sqrt{2}+1}\)\(\sqrt{2}+1\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\)

\(\left(1-x^{2}\right)(1-x)=\)

\((1-x)^{2}(1+x)\)\((1-x)(1+x)^{2}\)\(1-x^{3}\)

\(2 x^{2}-5 x-3=\)

\((2 x+1)(x-3)\)\((2 x-1)(x+3)\)\(\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-3)\)

\(5-2(x-1)^{2}=\)

\(-2 x^{2}+4 x+7\)\(-2 x^{2}+4 x+3\)\(-2 x^{2}-4 x+7\)

\(3(x+2)^{2}-8=\)

\(3 x^{2}+4 x-4\) \(3 x^{2}+12 x+4\)\(3 x^{2}+6 x+4\)

\((3 x-2)^{2}-(3 x-2)(x-1)=\)

\((3 x-2)(2 x-1)\)\((3 x-2)(2 x-3)\)\((3 x-2)(2-x)\)

ValiderRecharger

Cliquez et vous saurez tout de suite si vous avez vu juste :

1. \(\dfrac{4 x^{2}}{\dfrac{2}{x^{2}}}=\)
   \(2 x^{4}\)28
2. \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x+1}{x}=\)
   \(-\left(\frac{x+2}{2 x}\right)\)\(\frac{x-2}{2 x}\)\(\frac{-x+2}{2 x}\)
3. \(\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{2}{x}=\)
   \(\frac{-2 x-1}{x^{2}(x+1)}\)\(\frac{-2 x-1}{x(x+1)}\)\(\frac{-2 x+3}{x(x+1)}\)
4. \(\dfrac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\)
   \(-\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\)\(\frac{1+x}{(x-1)^{3}}\)\(\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\)
5. \(\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}-1=\)
   \(\frac{-1}{1+e^{t}}\)\(\frac{2 e^{t}-1}{1+e^{t}}\)\(\frac{e^{t}-1}{1+e^{t}}\)
6. \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\)
   \(a+b\)\(\frac{1}{a+b}\)\(\frac{a b}{a+b}\)
7. \(2-\dfrac{2 x+1}{x+2}=\)
   \(\frac{3}{x+2}\)\(\frac{5}{x+2}\)\(\frac{4 x+3}{x+2}\)
8. \(2-\dfrac{(x+1)^{2}}{x}=\)
   \(\frac{-x^{2}+1}{x}\)\(\frac{-x^{2}-1}{x}\)\(-\frac{x^{2}-1}{x}\)
9. \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\)
   \(\frac{2}{(x-1)}\)\(\frac{2}{x^{2}-1}\)\(\frac{2 x}{(x-1)(x+1)}\)
10. \(\dfrac{1}{x^{2}-1}-\dfrac{1}{x-1}=\)
    \(\frac{x-2}{x^{2}-1}\)\(\frac{x}{x^{2}-1}\)\(\frac{-x}{x^{2}-1}\)
11. \(\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\)
    \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{-2+\sqrt{5}}{2}\)
12. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\)
    \(\frac{-1}{\sqrt{2}+1}\)\(\sqrt{2}+1\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\)
13. \(\left(1-x^{2}\right)(1-x)=\)
    \((1-x)^{2}(1+x)\)\((1-x)(1+x)^{2}\)\(1-x^{3}\)
14. \(2 x^{2}-5 x-3=\)
    \((2 x+1)(x-3)\)\((2 x-1)(x+3)\)\(\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-3)\)
15. \(5-2(x-1)^{2}=\)
    \(-2 x^{2}+4 x+7\)\(-2 x^{2}+4 x+3\)\(-2 x^{2}-4 x+7\)
16. \(3(x+2)^{2}-8=\)
    \(3 x^{2}+4 x-4\) \(3 x^{2}+12 x+4\)\(3 x^{2}+6 x+4\)
17. \((3 x-2)^{2}-(3 x-2)(x-1)=\)
    \((3 x-2)(2 x-1)\)\((3 x-2)(2 x-3)\)\((3 x-2)(2-x)\)

1. \(\mathrm{A}\);
2. A (mise au même dénominateur)
3. \(\mathrm{B} \operatorname{car} \frac{1}{x(x+1)}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{2(x+1)}{x(x+1)}=\frac{-2 x-1}{x(x+1)}\).
4. \(\mathrm{C} \operatorname{car} \frac{1-x^{2}}{(x-1)^{4}}=\frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)^{4}}=\frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^{4}}=\frac{1+x}{(1-x)^{3}}\).

Ici, on a utilisé le fait que \((x-1)^{4}=(-(1-x))^{4}=(1-x)^{4}\) puisque 4 est pair.

1. A (mise au même dénominateur)
2. \(\mathrm{C}\) (multiplier en haut et en bas par \(a b)\)
3. A (mise au même dénominateur)
4. B (mise au même dénominateur)
5. B (mise au même dénominateur, en utilisant que \(\left.(x-1)(x+1)=x^{2}-1\right)\)

6. C. En effet (en essayant de minimiser les calculs) :

   \(\( \begin{aligned} \frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1} & =\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x-1} \\ & =\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{-x}{(x-1)(x+1)}=\frac{-x}{x^{2}-1} . \end{aligned} \)\)

7. \(\mathrm{B}\) (on développe en utilisant \(\left.(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\right)\).

8. B. Pour obtenir cela, on multiplie en haut et en bas par \(\sqrt{2}+1\) (ce que l'on appelle la "quantité conjuguée" à \(\sqrt{2}-1\) ).

   \(\( \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1 . \)\)

9. \(\mathrm{A}\), car \(\left(1-x^{2}\right)(1-x)=(1-x)(1+x)(1-x)=(1-x)^{2}(1+x)\).

10. \(\mathrm{A}\);
11. \(\mathrm{B}\)
12. \(\mathrm{B}\);
13. A (factoriser par \(3 x-2\) ).