Aller au contenu

Rappel N° 5 - Racines carrées⚓︎

Premiers calculs⚓︎

Placeholder

Petits rappels

Soit \(x\) un réel positif. La racine carrée de \(x\) est l'unique réel positif \(a\) tel que \(a^{2}=x\)

Alors, pour tous réels positifs \(x, y \in \mathbb{R}^{+}\):

\[ (\sqrt{x})^{2}=x, \quad \sqrt{x y}=\sqrt{x} \sqrt{y}, \quad \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} . \]

Par ailleurs, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(\sqrt{x^{2}}=|x|=\left\{\begin{aligned} x & \text { si } x \geqslant 0 \\ -x & \text { si } x \leqslant 0 .\end{aligned}\right.\)

Recherche 5-1 Définition de la racine carrée

Simplifier les expressions suivantes.

  1. \(\sqrt{(-5)^{2}}\)
  2. \(\sqrt{(2-\sqrt{7})^{2}}\)
  3. \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}\)
  4. \(\sqrt{(3-\pi)^{2}}\)
  5. \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}\)
  6. \(\sqrt{(3-a)^{2}}\)
  1. Quand \(a\) est un réel positif, \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) donc \(\sqrt{\left(-5^{2}\right)}=5\).
  2. idem
  3. idem
  4. idem
  5. idem
  6. On trouve \(|3-a|\), c'est-à-dire \(3-a\) si \(a \leqslant 3\) et \(a-3\) si \(a \geqslant 3\).

Recherche 5-2 Transformation d'écriture.

Écrire aussi simplement que possible les expressions suivantes.

  1. \((2 \sqrt{5})^{2}\)
  2. \((3+\sqrt{7})^{2}-(3-\sqrt{7})^{2}\)
  3. \((2+\sqrt{5})^{2}\)
  4. \((\sqrt{2 \sqrt{3}})^{4}\)
  5. \(\sqrt{4+2 \sqrt{3}}\)
  6. \(\left(\dfrac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
  7. \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}\)
  8. \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}\)
  1. RAS
  2. RAS
  3. On essaie de reconnaître une identité remarquable dans la racine : \(\sqrt{4+2 \sqrt{3}}=\sqrt{1+2 \sqrt{3}+3}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}}=1+\sqrt{3}\)

Avec la méthode de la quantité conjuguée⚓︎

Recherche 5-3

Rendre rationnels les dénominateurs des expressions suivantes.

  1. \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
  5. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
  6. \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)
  7. \(\dfrac{5+2 \sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{5-2 \sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
  8. \(\left(\dfrac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\right)^{2}\)
  1. \( \begin{aligned}\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}} & =\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} \\& =\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})}{2^{2}-2}=\frac{4-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}+\sqrt{6}}{2} \\& =2-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{6} .\end{aligned}\)

Recherche 5-4

Exprimer la quantité suivante sans racine carrée au dénominateur.

\[ \dfrac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \]

On pose \(A:=\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot\) On a \(A=\frac{1}{1+(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+(\sqrt{2}+\sqrt{3}))(1-(\sqrt{2}+\sqrt{3}))}=\frac{1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{4+2 \sqrt{6}}.\)

Ainsi, la technique de la « quantité conjuguée » n'est pas suffisante ici; mais on peut la réappliquer. On a \(A=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)(4-2 \sqrt{6})}{(4+2 \sqrt{6})(4-2 \sqrt{6})}=\frac{4 \sqrt{2}-4 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}-4+2 \sqrt{6}}{16-24}=\frac{2 \sqrt{2}+4-2 \sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}\)

Ainsi, on a \(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}\) : ce qu'on cherchait.

Remarque : on pouvait aussi faire un autre type de quantité conjuguée : \(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4} .\)

Calculs variés⚓︎

Recherche 5-5 Avec une variable.

On considère la fonction \(f\) qui à \(x>1\) associe \(f(x)=\sqrt{x-1}\). Pour tout \(x>1\), calculer et simplifier les expressions suivantes.

  1. \(f(x)+\dfrac{1}{f(x)}\)
  2. \(\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\)
  3. \(\dfrac{f(x+2)-f(x)}{f(x+2)+f(x)}\)
  4. \(f(x)+4 f^{\prime \prime}(x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\)
  5. \(\sqrt{x+2 f(x)}\)
  6. \(\dfrac{f(x)}{f^{\prime \prime}(x)}\)
  1. RAS
  2. RAS
  3. On essaie de reconnaître une identité remarquable dans la racine : \(\sqrt{x+2 f(x)}=\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}=\sqrt{\sqrt{x-1}^{2}+2 \sqrt{x-1}+1}=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^{2}}=\sqrt{x-1}+1\)
  4. RAS
  5. Le calcul donne \(f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{4} \frac{1}{(x-1)^{3 / 2}}\) d'où : \( f(x)+4 f^{\prime \prime}(x)=\sqrt{x-1}-\frac{1}{(x-1) \sqrt{x-1}}=\frac{1}{(x-1) \sqrt{x-1}}\left((x-1)^{2}-1\right)=\frac{x(x-2)}{(x-1) \sqrt{x-1}}\)

Recherche 5-6 Mettre au carré.

Élever les quantités suivantes au carré pour en donner une expression simplifiée.

  1. \(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\)
  2. \(\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}}\)

  1. \((\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^{2}=3+\sqrt{5}-2 \sqrt{3+\sqrt{5}} \sqrt{3-\sqrt{5}}+3-\sqrt{5}=6-2 \sqrt{9-5}=6-2 \sqrt{4}=6-4=2 \)

    De plus, \(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}} \geqslant 0\), donc \(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}\)

Recherche 5-7 Méli-mélo

Donner une écriture simplifiée des réels suivants.

  1. \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}\)
  2. \(3 \mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2} \ln 3}\)
  3. \(\sqrt{3+2 \sqrt{2}}\)
  4. \(2 \sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\)
  5. \(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}\)
  6. \(\dfrac{1}{2} \ln \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
  1. RAS
  2. On calcule \(3+2 \sqrt{2}=2+2 \sqrt{2}+1=(\sqrt{2})^{2}+2 \times 1 \times \sqrt{2}+1^{2}=(1+\sqrt{2})^{2}\) et on trouve donc \(\sqrt{3+2 \sqrt{2}}=1+\sqrt{2}\)
  3. RAS
  4. RAS
  5. \( 2 \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{6+2 \sqrt{5}}=\sqrt{1+2 \sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^{2}}=1+\sqrt{5}\).

Réponses mélangées⚓︎

\[ {\small \begin{array}{ccccccccc} -4(x-1)^{2} & 12 \sqrt{7} & 9+4 \sqrt{5} & 1+\sqrt{2} & 50-25 \sqrt{3} & -11+5 \sqrt{5} & 1-\sqrt{10}+\sqrt{15} \\ 9-\dfrac{10}{3} \sqrt{2} & 12 & -\sqrt{3}+2 & 1+\sqrt{5} & \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{x-1} & -(\sqrt{2}+\sqrt{3}) & 1+\sqrt{2} & 2 \sqrt{2} \\ \sqrt{15}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-2 & \dfrac{x(x-2)}{(x-1) \sqrt{x-1}} & 10 & 3+\sqrt{2} & 5 & \sqrt{7}-2 & 1+\sqrt{x-1} \\ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}} & \sqrt{3} & \dfrac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4} & 2-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\dfrac{1}{2} \sqrt{6} & x-\sqrt{x^{2}-1} & 2 \sqrt{2} & \pi-3 \\ 1+\sqrt{3} & \sqrt{3}-1 & \sqrt{2} & 20 & 3-2 \sqrt{2} & \ln (1+\sqrt{2}) & |3-a| & -\dfrac{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2} \end{array} } \]

QCM⚓︎

Recherche 5-8

Pour chaque expression, une seule égalité est correcte. \(a, b, x, C\) représentent des réels, \(n\) et \(k\) représentent des entiers.

Cliquez sur vos propositions à toutes les questions puis validez.

\(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}=\)
\(\frac{\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}}{\sqrt{2 a}}=\)
Pour \(x \geqslant 0, \frac{1}{x} \sqrt{x^{3}+2 x^{2}+3}=\)
\(2 \times\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\right)^{2}=\)
ValiderRecharger

Cliquez et vous saurez tout de suite si vous avez vu juste :

  1. \(\dfrac{a^{2}}{\sqrt{a}}=\)
  2. \(\dfrac{\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}}{\sqrt{2 a}}=\)
  3. Pour \(x \geqslant 0, \dfrac{1}{x} \sqrt{x^{3}+2 x^{2}+3}=\)
  4. \(2 \times\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\right)^{2}=\)
  1. \(\mathrm{B}, \operatorname{car} \frac{a^{2}}{\sqrt{a}}=\frac{a \times a}{\sqrt{a}}=\frac{a \times(\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{a}}=a \sqrt{a}\).

  2. \(\mathrm{B}, \operatorname{car} \frac{\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}}{\sqrt{2 a}}=\frac{\sqrt{4 a^{2}}}{\sqrt{2 a}}=\frac{\sqrt{(2 a)^{2}}}{\sqrt{2 a}}=\frac{\sqrt{2 a} \times \sqrt{2 a}}{\sqrt{2 a}}=\sqrt{2 a}\).

  3. A. En effet, pour \(x>0\), on a \(\sqrt{x^{2}}=|x|=x\), donc

    \[ \frac{1}{x} \sqrt{x^{3}+2 x^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}}} \sqrt{x^{3}+2 x^{2}+3}=\sqrt{\frac{1}{x^{2}}\left(x^{3}+2 x^{2}+3\right)}=\sqrt{x+2+\frac{3}{x^{2}}} . \]

  4. C. En effet,

    \[ 2 \times\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\right)^{2}=2 \times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2 n}=2 \times\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right)^{n}=2 \times\left(\frac{2}{4}\right)^{n}=2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{2}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n-1}} \]