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Rappel N° 6 - Expressions algébriques⚓︎

Premiers calculs⚓︎

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Recherche 6-1 Cubique

Soit \(a\) un nombre réel tel que \(a^{3}-a^{2}+1=0\).

Exprimer les quantités suivantes sous la forme \(x a^{2}+y a+z\) où \(x, y, z\) sont trois nombres rationnels.

  1. \((a+2)^{3}\)
  2. \(a^{12}\)
  3. \(a^{5}-a^{6}\)
  4. \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2}}\)
  1. On développe \((a+2)^{3}=a^{3}+6 a^{2}+12 a+8\), puis on simplifie sachant que \(a^{3}=a^{2}-1\).
  2. De \(a^{3}=a^{2}-1\), on déduit \(a^{6}=a^{3}\left(a^{2}-a\right)=a^{5}-a^{4}\) et donc \(a^{5}-a^{6}=a^{4}\). De plus \(a^{4}=a\left(a^{2}-1\right)\), etc.
  3. On commence par \(a^{6}=\left(a^{3}\right)^{2}=\left(a^{2}-1\right)^{2}=a^{4}-2 a^{2}+1=-a^{2}-a\) puis \(a^{12}=\left(-a^{2}-a\right)^{2}=a^{4}+2 a^{3}+a^{2}\).
  4. L'égalité \(a^{3}-a^{2}+1\) peut s'écrire \(a\left(a-a^{2}\right)=1\) ce qui montre que \(a \neq 0\) et \(\frac{1}{a}=a-a^{2}\). Alors \(\frac{1}{a^{2}}=1-a\).

Recherche 6-2 Inverse

Soit \(x\) un réel non nul. On pose \(a=x-\dfrac{1}{x}\). Exprimer les quantités suivantes en fonction de \(a\) uniquement.

  1. \(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)
  2. \(x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}\)
  3. \(x^{4}+\dfrac{1}{x^{4}}\)
  1. On complète le carré \(: x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\).
  2. On se ramène au résultat précédent \(: x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=x\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{1}{x}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\left(x-\frac{1}{x}\right)=a\left(a^{2}+2\right)+a\).
  3. De même \(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=x^{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\frac{1}{x^{2}}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-2=\left(a^{2}+2\right)^{2}-2\).

Recherche 6-3

Soit \(p\) un réel de \(] 0,1[\). On pose \(q=1-p\).

Simplifier les expressions suivantes.

  1. \(p q \times \dfrac{2}{p^{3}}+\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p^{2}}\)

  2. \(\dfrac{1}{p q}-\dfrac{1}{1-q}-\dfrac{1}{1-p}\)

  3. \(\dfrac{p q}{(1-p)^{2}}-\dfrac{1}{q}\)

  4. \(p^{3}+3 p q+q^{3}\)

  1. \(\quad p q \times \frac{2}{p^{3}}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{2 q+p-1}{p^{2}} \quad\) or \(p-1=-q\) donc \(p q \times \frac{2}{p^{3}}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{q}{p^{2}}\)
  2. \(\quad \frac{p q}{(1-p)^{2}}-\frac{1}{q}=\frac{p}{q}-\frac{1}{q}=\frac{p-1}{q}=-1\)
  3. \(\quad \frac{1}{p q}-\frac{1}{1-q}-\frac{1}{1-p}=\frac{1}{p q}-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{1}{p q}-\frac{q}{p q}-\frac{p}{p q}=\frac{1-p-q}{p q}=0\)
  4. \(p+q=1\) donc \(p^{3}+3 p q+q^{3}=p^{3}+3 p q(p+q)+q^{3}=p^{3}+3 p^{2} q+3 p q^{2}+q^{3}=(p+q)^{3}=1\)

Recherche 6-4 Résoudre une équation en physique.

Résoudre les équations suivantes en exprimant l'inconnue en fonction des autres grandeurs.

  1. \(\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}} \quad\) avec pour inconnue \(k\)

  2. \(\dfrac{2 m g}{a} \rho-\dfrac{m C^{2}}{\rho^{3}}=0 \quad\) avec pour inconnue \(\rho \quad\) avec \(\rho>0\)

  3. \(\dfrac{1}{2} m v^{2}+\dfrac{m g d^{2}}{2 R}=\dfrac{m g R}{2}\) avec pour inconnue \(v\).

  1. \(\quad \frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}=\frac{k_{2}+k_{1}}{k_{1} k_{2}} \quad\) donc \(\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\) équivaut à \(k=\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\)
  2. \(\quad \frac{2 m g}{a} \rho-\frac{m C^{2}}{\rho^{3}}=0 \Longleftrightarrow \frac{2 m g}{a} \rho=\frac{m C^{2}}{\rho^{3}} \Longleftrightarrow \rho^{4}=\frac{a C^{2}}{2 g} \Longleftrightarrow \rho=\sqrt[4]{\frac{a C^{2}}{2 g}} \quad(\operatorname{car} \rho>0)\)
  3. On a nécessairement \(R-\frac{d^{2}}{R} \geqslant 0\). \(\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{m g d^{2}}{2 R}=\frac{m g R}{2} \Longleftrightarrow v^{2}+\frac{g d^{2}}{R}=g R \Longleftrightarrow v^{2}=g\left(R-\frac{d^{2}}{R}\right) \Longleftrightarrow v=\sqrt{g\left(R-\frac{d^{2}}{R}\right)}\) ou \(v=-\sqrt{g\left(R-\frac{d^{2}}{R}\right)}\)

Réponses mélangées⚓︎

\[{\small \begin{array}{rcccccc} \dfrac{k_{1} k_{2}}{k_{1}+k_{2}} & & 1 & -a^{2}+1 & 7 a^{2}+12 a+7 & 4 a^{2}-a-3 \\ -1 & a^{2}+2 & a^{2}-a-1 & & & 1 & \\ a^{3}+3 a & 0 & 3 & & \left(\dfrac{a C^{2}}{2 g}\right)^{\dfrac{1}{4}} & & a^{4}+4 a^{2}+2 \\ \dfrac{q}{p^{2}} & 2197 & 1 & \sqrt{g\left(R-\dfrac{d^{2}}{R}\right)} & \text { ou }-\sqrt{g\left(R-\dfrac{d^{2}}{R}\right)} & 1 \end{array}} \]