Rappel N° 7 - Équations du second degré⚓︎
À noter
Dans cette fiche :
- tous les trinômes considérés sont réels;
- on ne s'intéresse qu'à leurs éventuelles racines réelles;
- tous les paramètres sont choisis de telle sorte que l'équation considérée soit bien de degré 2.
Les formules donnant explicitement les racines d'une équation du second degré en fonction du discriminant ne servent nulle part dans cette fiche d'exercices!
Recherche de racines⚓︎
Recherche 7-1 Des racines vraiment évidentes.
Résoudre mentalement les équations suivantes. Les racines évidentes sont à chercher parmi \(0,1,-1,2,-2\) ainsi éventuellement que 3 et -3.
- \(x^{2}-6 x+9=0\)
- \(x^{2}-5 x=0\)
- \(9 x^{2}+6 x+1=0\)
- \(2 x^{2}+3 x=0\)
- \(x^{2}+4 x-12=0\)
- \(2 x^{2}+3=0\)
- \(x^{2}-5 x+6=0\)
- \(x^{2}+4 x-5=0\)
- C'est une identité remarquable : \(x^{2}-6 x+9=(x-3)^{2}\).
- RAS
- Le nombre 2 est racine évidente, l'autre est donc -6 en regardant le produit des racines qui vaut -12 .
- RAS
- La racine 0 est la racine évidente par excellence; la somme des racines valant ici 5 l'autre racine est 5 .
- RAS
- La fonction \(x \longmapsto 2 x^{2}+3\) est strictement postivie car elle est minorée par 3 , donc elle ne s'annule pas.
Recherche 7-2 Somme et produit.
Développer \((x-a)(x-b)\) et en déduire un moyen de résoudre mentalement les équations suivantes:
-
\(x^{2}-(a+b) x+a b=0 \)
-
\(x^{2}-13 x+42=0\)
-
\(x^{2}-8 x-33=0 \)
-
\(x^{2}+8 x+15=0 \)
-
\(x^{2}+18 x+77=0 \)
-
\(x^{2}-2 a x+a^{2}-b^{2}=0\)
- Ici on cherche des racines un peu moins évidentes : on remplace le problème par le problème équivalent de la détermination de deux nombres \(x_{1}, x_{2}\) dont le produit vaut 42 et la somme 13 . On teste donc les factorisations évidentes de 42 , ici \(42=6 \times 7\) et \(13=6+7\).
- On cherche deux nombres dont le produit vaut 15 et la somme -8 : les nombres -3 et -5 conviennent.
Recherche 7-3 L'une grâce à l'autre.
Calculer la seconde racine des équations suivantes.
-
\(3 x^{2}-14 x+8=0 \quad\) sachant que \(x=4\) est racine
-
\(7 x^{2}+23 x+6=0 \quad\) sachant que \(x=-3\) est racine
-
\(m x^{2}+(2 m+1) x+2=0 \quad\) sachant que \(x=-2\) est racine
-
\((m+3) x^{2}-\left(m^{2}+5 m\right) x+2 m^{2}=0 \quad\) sachant que \(x=m\) est racine
RAS
Recherche 7-4 Racine évidente
Trouver une racine des équations suivantes et calculer l'autre en utilisant les relations entre les coefficients du trinôme et ses racines.
-
\((b-c) x^{2}+(c-a) x+(a-b)=0\)
-
\(a(b-c) x^{2}+b(c-a)x+c(a-b)=0\)
-
\((x+a)(x+b)=(m+a)(m+b)\)
RAS
Recherche d'équations⚓︎
Recherche 7-5 À la recherche de l'équation
En utilisant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré, former l'équation du second degré admettant comme racines les nombres suivants.
- 9 et 13
- -11 et 17
- \(2+\sqrt{3}\) et \(2-\sqrt{3}\)
- La somme des racines vaut 22, leur produit 117. L'équation cherchée est donc \(x^{2}-22 x+117=0\).
Recherche 7-6
Déterminer la valeur à donner à \(m\) pour que les équations suivantes admettent une racine double, et préciser la valeur de la racine dans ce cas.
- \(x^2-(2m+3)x +m^2=0\)
- \((m+2) x^{2}-2(m-1) x+4=0\)
- Une équation du second degré admet une racine double si, et seulement si, son discriminant est nul. Ici, le discriminant vaut \(\Delta=(2 m+3)^{2}-4 m^{2}=3(4 m-1)\). Ainsi, l'équation admet une racine double si, et seulement si, \(m\) vaut \(-3 / 4\) ce qui donne \(x=3 / 4\).
- Ici, le déterminant vaut \(\Delta=4\left(m^{2}-6 m-7\right)\), donc une racine évidente est -1 donc l'autre vaut 7 . Pour \(m=-1\) on trouve \(x=-2\) et pour \(m=7\) on trouve \(x=2 / 3\).
Factorisations et signe⚓︎
Recherche 7-7 Factorisation à vue
Déterminer de tête les valeurs des paramètres \(a\) et \(b\) pour que les égalités suivantes soient vraies pour tout \(x\).
-
\(2 x^{2}+7 x+6=(x+2)(a x+b)\)
-
\(-4 x^{2}+4 x-1=(2 x-1)(a x+b)\)
-
\(-3 x^{2}+14 x-15=(x-3)(a x+b)\)
RAS
Recherche 7-8 Signe d'un trinôme.
Déterminer l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles les expressions suivantes sont positives ou nulles.
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\(x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}\)
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\(-x^{2}+2 x+15\)
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\((x+1)(3 x-2)\)
- Un trinôme est du signe du coefficient dominant à l'extérieur de l'intervalle des racines, et du signe opposé entre les racines. Ici, les racines sont \(\sqrt{2}\) et 1 , le trinôme est donc strictement positif sur \(]-\infty, 1[\cup] \sqrt{2},+\infty[\) et strictement négatif sur \(] 1, \sqrt{2}[\).
- Les racines sont -5 et 3. Le trinôme est donc strictement négatif sur \(]-\infty,-3[\cup] 5,+\infty[\) et strictement positif sur \(]-3,5[\).
- Ici, les racines sont -1 et \(2 / 3\). Le trinôme est donc strictement positif sur \(]-\infty,-1[\cup] 2 / 3,+\infty[\) et strictement négatif sur ] - \(1,2 / 3[\).